KURZUS: Irányítástechnika

MODUL: Lineáris szabályozási körök

3.1. lecke: A tipikus alaptagok áttekintése

| Cél: A tananyag célja, hogy a hallgató megismerje a szabályozási kör modelljének alapvető komponenseit.
Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes
az alaptagok megnevezésére, és rendszerjellemző függvényeik megadására, és azok felvázolására.
Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 90 percre lesz szüksége.
Kulcsfogalmak
rendszerjellemző függvények, P-, I-, D-tagok, egytárolós tag, kéttárolós tag, sajátérték, időállandó.
1. Bevezető példák
Jegyzetfüzetébe jegyezze fel az egyes példák legfontosabb gondolatait.
A kétkaru emelő - példa arányos tagra
A kétkaru emelő az 1. ábrán látható. Az emelő rúdja alaphelyzetben vízszintesen van. Vizsgáljuk meg, hogy a jobb oldali kar helyzetének x nagyságú megváltozása mekkora y megváltozást okoz a bal oldali kar helyzetében.
A kétkaru emelő
1. ábra
Ebben a példában x a bemenőjel, y pedig a kimenőjel. Az x megváltozás hatására létrejövő y megváltozás az 1. ábrán látható két hasonló háromszög alapján könnyedén számítható:
x b = y a ,
ahonnan:
y= a b x .
A kimenet tehát a/b -szerese a bemenetnek, ami egy konstans számérték. Az ilyen típusú tagot arányos tagnak nevezzük, hiszen a kimenőjel a bemenőjellel arányosan változik.
A tartály - példa integráló tagra
Egy tartályba x mennyiségű folyadék áramlik be, aminek hatására a folyadék y-nal jelölt szintje emelkedik. Ha folyadékot engedünk ki a tartályból, akkor y csökken. Tételezzük fel, hogy a vizsgálat kezdetén, a t=0 időpillanatban a tartály üres.
A folyadékszint pillanatnyi változási sebessége (azaz, hogy a folyadékszint milyen gyorsan emelkedik, vagy épp csökken) arányos a beömlő folyadékkal, azaz
y ′ =A x ,
ami átírható a következő alakra:
y( t )=A ∫ 0 t x( τ )d τ .
Ezt a típusú tagot integráló tagnak nevezzük, a kimenőjel ugyanis a bemenőjel integráljával arányos.
Szemléletesen a tartály összegyűjti, integrálja a beömlő (illetve a negatív előjellel figyelembevett kiömlő) folyadékot.
A differenciáló tag
A valóságban differenciáló tag önállóan nem létezik, de az integráló tag fordítottjaként elképzelhető olyan ideális differenciáló tag, amelynek y kimenete az x bemenet deriváltja,
y=A x'
2. Az ideális alaptagok
Jegyzetfüzetébe jegyezze fel az egyes tagok rendszerjellemző függvényeit! Célszerű egy táblázatban összefoglalnia.
A W( s )= Y( s ) U( s ) átviteli függvény néhány egyszerű alaptag kombinációjából épül fel. Három jellegzetes alaptípus van (arányos, más néven proporcionális P-tag, integráló I-tag, differenciáló D-tag), amelyek jól elkülöníthetők az átviteli függvényben (1. táblázat).
Az ideális alaptagok összefoglalása
1. táblázat
Az arányos P-tag (proporcionális tag). A tag kimeneti jele a bemeneti jel konstansszorosa: y( t )= k P u( t ) , (1) ami egy algebrai egyenlet. A kimenőjel és a bemeneti jel között időkésleltetés nincs. Ezen tag átviteli függvénye így konstans, W( s )= k P . (2) Ez azt jelenti, hogy a W( j ω )= k P átviteli karakterisztika nem függ a frekvenciától, minden frekvenciakomponenst azonos mértékben visz át: K( ω )=| k P | , ϕ( ω )={ 0, ha k P >0, ± 180 o , ha k P <0. (3) Az impulzusválasza értelemszerűen Dirac-delta, ugrásválasza pedig konstans: w( t )= k P δ( t ) , v( t )= k P 1( t ) . (4) Az integráló I-tag a bementére érkező jel integrálásával képezi a kimeneti jelet: y( t )= 1 T I ∫ −∞ t u( τ )d τ, (5) ahol T I >0 konstans. Az átviteli függvény ennek megfelelően a következő: W( s )= 1 s T I . (6) Az átviteli karakterisztika tehát a következő alakot ölti: W( j ω )= 1 j ω T I , (7) azaz: K( ω )= 1 ω T I , ϕ( ω )=− 90 o . (8) A Bode-féle amplitúdókarakterisztika tehát egy −20 dB/dekád meredekségű egyenes, amely az ω=1/ T I frekvencián metszi a vízszintes tengelyt, az alacsony frekvenciás komponenseket kiemeli, a magasabb frekvenciájú komponenseket elnyomja. A fáziskarakterisztika nem függ a frekvenciától. Az impulzusválasz konstans, ugrásválasza pedig lineárisan nő: w( t )= 1 T I 1( t ) , v( t )= 1 T I 1( t )t . (9) Utóbbi függvényt egységsebességugrásnak is nevezik. A differenciáló D-tag a bementére érkező jel deriválásával képezi a kimeneti jelet. y( t )= T D d u( t ) d t , (10) ahol T D >0 egy konstans. Az átviteli függvény tehát a következő: W( s )=s T D . (11) Az átviteli karakterisztika pedig a következő alakot ölti: W( j ω )=j ω T D , (12) azaz: K( ω )=ω T D , ϕ( ω )= 90 o . (13) A Bode-féle amplitúdókarakterisztika tehát egy +20 dB/dekád meredekségű egyenes, amely az ω=1/ T D frekvencián metszi a vízszintes tengelyt, az alacsony frekvenciás komponenseket elnyomja, a magasabb frekvenciájú komponenseket kiemeli. A fáziskarakterisztika nem függ a frekvenciától. Az impulzusválasz nem értelmezhető, mert a Dirac-delta bemenőjel deriváltját nem tudjuk értelmezni, ugrásválasza pedig a Dirac-impulzus: v( t )= T D δ( t ) . (14)
3. A tárolós alaptagok
Jegyzetfüzetébe jegyezze fel az egyes tagok rendszerjellemző függvényeit! Ismételje át előbb a Bode-alakokat, ha szükséges!
Két tárolós tagot különböztetünk meg:
Egytárolós tag. Az átviteli függvénye a következő:
W( s )= 1 1+s T , (15)
ahol T>0 . A (15) az időtartományban egy elsőrendű differenciálegyenletnek felel meg, a gerjesztés-válasz kapcsolatot megadó rendszeregyenlet tehát
Y( s )( 1+s T )=U( s ) → y( t )+T y ˙ ( t )=u( t ) (16)
Az átviteli karakterisztika a következő alakot ölti:
W( j ω )= 1 1+j ω T = 1 1+j ω 1/T , (17)
utóbbi a Bode-alakban felírt karakterisztika, ami alapján a közelítő diagramok szerkeszthetők, a pontos diagramok pedig az alábbiak szerint rajzolhatók:
K( ω )= 1 1+ ( ω T ) 2 ,
ϕ( ω )=−arctan⁡ω T . (18)
Az egytárolós tag közelítő és pontos Bode-diagramja
2. ábra
A Bode-féle közelítő karakterisztikák az 1. modul 2. leckéjében megtalálhatók, a törésponti körfrekvencia értéke itt 1/T . A Bode-diagramot részletesen a 2. ábrán rajzoltuk fel, ahol a pontos és a közelítő diagramok összehasonlíthatóak.
Az impulzusválasz és az ugrásválasza a W( s ) és a V( s ) alapján felírható:
W( s )= 1 1+s T = 1 T 1 s+ 1 T → w( t )= 1 T 1( t ) e −t/T , (19)
V( s )= 1 T 1 s( s+ 1 T ) → v( t )=1( t )( 1− e −t/T ) . (20)
A sajátérték tehát λ=−1/T . Az impulzusválasz és az ugrásválasz jellege a 3. ábrán tanulmányozható.
Az egytárolós tag impulzusválasza és ugrásválasza
3. ábra
Kéttárolós tag. Ezen tag átviteli függvénye a következő:
W( s )= 1 1+2 ξ T 0 s+ T 0 2 s 2 , (21)
amihez a következő rendszeregyenlet rendelhető:
Y( s )( 1+2 ξ T 0 s+ T 0 2 s 2 )=U( s ) → T 0 2 y ¨ ( t )+2 ξ T 0 y ˙ ( t )+y( t )=u( t ) . (22)
Az ω 0 = 1 T 0 a kéttárolós tag ún. saját-körfrekvenciája, ξ pedig a csillapítási tényező. A rendszernek két pólusa van, ha ξ>1 , akkor a pólusok valósak és aperiodikusan csillapított tagról beszélünk, ha pedig 0<ξ≤1 , akkor a pólusok konjugált komplex párt alkotnak és periodikusan csillapított, lengő tagról van szó.
A kéttárolós tag Bode-diagramja
4. ábra
A 4. ábrán látható a kéttárolós tag Bode-diagramja, ahol kvalitatív képet kaphatunk a diagram alakulásáról. A töréspont az ω 0 = 1 T 0 körfrekvencián van. Az amplitúdó-diagram ω 0 alatt nullához tart, ω 0 felett pedig a -40dB/dekád meredekségű egyeneshez. Ha ξ>1 , az ω 0 környezetében egyre távolabb kerül a görbe a törésponttól, ahogy a ξ csillapítási tényező értéke nő. Ha 0<ξ≤1 , akkor ω 0 környezetében az amplitúdódiagram pozitív lesz, s ξ csökkenésével a kiemelkedés egyre erőteljesebb. A fázisdiagram az ω 0 körfrekvencián − 90 o , csökkenő frekvencián a fázis nullához, növekvő frekvencián pedig − 180 o -hoz tart. Az átmenet annál meredekebb, minél kisebb a csillapítási tényező értéke.
Megjegyezzük, hogy amennyiben aperiodikus tagról beszélünk, úgy a kéttárolós tag két egytárolós tag soros kapcsolásával ekvivalens.
Az aperiodikus beállás az egytárolós tag tranziens folyamatához hasonló, ahogy az az impulzusválasz és az ugrásválasz jellegében is tükröződik (l. 5. ábra). A lengő jelleg egy exponenciálisan csökkenő amplitúdójú szinuszos rezgést jelent az impulzusválaszban, s az ugrásválaszban. Minél kisebb a csillapítási tényező, a lengés annál nagyobb amplitúdójú.
A kéttárolós tag impulzusválasza és ugrásválasza
5. ábra
4. Az átviteli függvény P, I, D jellege stacionárius állapotban
Jegyzetfüzetébe jegyezze fel a három jellegnek megfelelő feltételt!
Az átviteli függvény az alábbi alakra hozható
W( s )=A 1 s i W t ( s ). (23)
A W t ( s ) többtárolós tag (amely a fenti egytárolós és kéttárolós alaptagokból épül fel) a tranziensekért felel, hiszen pólusai a válaszjel tranziens összetevőiben jelentkeznek. Amikor a tranziens lecseng, a fennmaradt A 1 s i tag hat a bemenetre érkező jelre. Az i értékének megfelelően három eset lehetséges:
i=0 , a tag stacionárius állapotban P-tagként viselkedik; i>0 , a tag stacionárius állapotban I-tagként viselkedik; i<0 , a tag stacionárius állapotban D-tagként viselkedik.
5. Illusztratív példa
Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatot! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatot! A feladat egy elméleti szempontból is lényeges eredményt tartalmaz: a sajátérték és az időállandó kapcsolatát, utóbbit itt definiáljuk.
A tranziens összetevő, illetve a (19) alakú impulzusválasz az y( t )=M e λ t alakú időfüggvény szerint alakul, ahol λ a sajátérték. Ha λ<0 , akkor az exponenciális függvény lecseng, ellenkező esetben minden határon túl nő. A következő példában λ<0 .
Határozzuk meg a következő időintervallumot! Az y( t )=M e λ t függvényhez a 6. ábrán látható módon valamely tetszőleges t0 időpontban húzzunk egy érintőt. Ez az érintő elmetszi a vízszintes tengelyt, miközben τ idő telik el, s kérdés ezen időtartam.
A sajátérték és az időállandó kapcsolatához
6. ábra
Először írjuk fel az érintő egyenesének egyenletét e( t )=m t+b alakban, ahol m a meredekség, ami megegyezik az exponenciális függvény deriváltjával a t0 helyen, azaz
m= d y( t ) d t | t= t 0 =λ M e λ t 0
A b paraméter értékének meghatározásához használjuk fel, hogy az e( t ) egyenes a t0 helyen érinti az y( t ) függvényt, azaz:
e( t 0 )=λ M e λ t 0 t 0 +b=M e λ t 0 ,
ahonnan
b=M e λ t 0 −λ M e λ t 0 t 0 .
Az egyenes egyenlete végül a következő:
e( t )=λ M e λ t 0 t+( M e λ t 0 −λ M e λ t 0 t 0 ) .
Az e( t )=0 egyenlet megoldása szolgáltatja a t= t 0 +τ értéket. Az M e λ t 0 taggal lehet egyszerűsíteni,
0=λ( t 0 +τ )+1−λ t 0 ,
ahonnan
τ=− 1 λ . (24)
Ezt az értéket időállandónak nevezzük. Az időállandó tehát a sajátérték reciprokának mínusz egyszerese.
Mit fejez ki az időállandó? A t= t 0 helyen (ami tetszőleges időpillanat lehet) a függvény értéke y( t 0 )=M e λ t 0 . A t= t 0 +τ helyen pedig
y( t 0 +τ )=M e λ( t 0 +τ ) =M e λ( t 0 − 1 λ ) =M e λ t 0 e −1 = y( t 0 ) e
Szavakban: a τ időállandó értéke az az időintervallum, ami alatt az exponenciális függvény e-ad részére csökken.
Az 5 τ egy lényeges, ökölszabályként is felfogható időintervallumot jelöl: 5 τ alatt ugyanis az exponenciális függvény a kezdeti értékének 1/ e 5 <1% -ára csökken, amit sokszor elhanyagolhatónak tekintünk. Mivel a tranziensek exponenciális függvények szerint alakulnak, jó közelítés a legnagyobb időállandót (leglomhább pólust) alapul véve azt mondani, hogy a tranziens 5 τ után lecseng, feltéve persze, hogy az exponenciális függvény lecsengő jellegű.
Stabil rendszer időállandói pozitívak.
Konjugált komplex párból álló sajátértékek esetén a valós részből kell számítani az időállandót.
6. Illusztratív példa
Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatot! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatot!
A pontos Bode-diagram és a törtvonalas közelítés között hol kisebb, hol nagyobb eltérés van. Határozzuk meg a legnagyobb eltérést az amplitúdódiagramon és a fázisdiagramon! Hol tökéletes az egyezés? Vizsgáljuk az egytárolós tagot (1. ábra)!
A közelítő amplitúdódiagram legnagyobb hibája az ω=1/T törésponti körfrekvencián mutatkozik, ahogy az az 1. ábrán is látható. A közelítés szerint itt 0dB a diagram, a pontos érték (18) szerint:
K( 1 T )= 1 1+ ( 1 T T ) 2 = 1 2 ,
decibelben: K dB =20 lg⁡ 1 2 =−3 dB . A maximális hiba a töréspontnál tehát 3dB.
A közelítő görbe és a pontos görbe az ω→0 és az ω→∞ határok felé tartva aszimptotikusan egymásba simulnak. A hiba egyre kisebb és kisebb lesz.
A közelítő fázisdiagram legnagyobb hibája - az 1. ábrán is látható - az ω=0,1/T és az ω=10/T körfrekvenciákon van. Előbbi helyen a közelítő görbe szerint a fázis 0 o , utóbbi helyen pedig − 90 o . A pontos értéket (18) szerint lehet meghatározni:
ϕ( 0,1 T )=−arctan⁡ 0,1 T T=−arctan⁡0,1=− 5,71 o ,
illetve:
ϕ( 10 T )=−arctan⁡ 10 T T=−arctan⁡10=− 84,29 o ,
ϕ( 1 T )=−arctan⁡ 1 T T=−arctan⁡1=− 45 o .
7. Illusztratív példa
Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatot! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatot!
Vizsgáljuk meg, hogy a (21) formula hogy adódik az ( 1+s τ )( 1+s τ * ) szorzat szerint, ahol a * a konjugált komplex képzését jelenti, és τ=−1/p az időállandó, míg p=a+j b , és p * =a−j b a konjugált komplex párt alkotó pólusok!
( 1+s τ )( 1+s τ * )=( 1− s a+j b )( 1+ s a−j b )=1− 2 a s a 2 + b 2 + s 2 a 2 + b 2
Vezessük be az alábbi jelöléseket:
ω 0 2 = a 2 + b 2 ,
T 0 = 1 ω 0 ,
ξ=− a ω 0 ,
így ( 1+s τ )( 1+s τ * )=1+2 ξ T 0 s+ T 0 2 s 2 . Az ω 0 az ún. sajátfrekvencia, ξ pedig a csillapítási tényező.

| Önellenőrző kérdések
Foglalja össze az ideális alaptagok (P, I, D) rendszerjellemző függvényeit! Foglalja össze az egytárolós tag rendszerjellemző függvényeit! Foglalja össze a kéttárolós tag rendszerjellemző függvényeit! Az átviteli függvényből hogy lehet következtetni a rendszer P, I, vagy D jellegére? Adja meg az időállandó és a sajátérték kapcsolatát! Mit ad meg az időállandó? Mire lehet használni? Adja meg a közelítő Bode-diagram hibáját egytárolós tag esetén!