KURZUS: Irányítástechnika

MODUL: Jelek és rendszerek

2.1. lecke: Jelek

| Cél: A tananyag célja, hogy a hallgató megismerje a jelekkel, azon belül is a folytonos idejű jelekkel kapcsolatos alapvető fogalmakat és összefüggéseket, amelyek az irányítástechnika megértéséhez szükségesek.
Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes
definiálni a jel fogalmát, s azok típusait, jellemzőit, definiálni az egységugrásjel fogalmát, megadni a Dirac-delta definícióját, az általánosított derivált fogalmával dolgozni.
Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 180 percre lesz szüksége.
Kulcsfogalmak
időfüggvények, jelek, folytonos idejű jelek és diszkrét idejű jelek, vizsgálójelek (egységugrásjel, Dirac-impulzus, szinuszos jel), általánosított derivált.
1. Jelek
A folytonos idejű és a diszkrét idejű jelek itt közölt leírását jegyzetelje ki füzetébe! Jegyezze fel az egységugrásjel és a Dirac-impulzus függvényét, és azok kapcsolatát!
A jel definíciója
Az 1. modulban többször említettük, hogy a szabályozott jellemzőről mérés útján kapunk információt. Az alapjelet szintén mérnünk kell, hogy a szabályozott jellemzővel össze lehessen hasonlítani, s a hibajel mérésével jutunk el a szabályozó bemenetére.
Nem emeltük ki, de tulajdonképpen a jel egy időfüggvény, ami szenzorok segítségével mérhető, és az idő függvénye, többnyire feszültség.
A különböző folyamatok mérhető mennyiségeiről információt mérőműszerek (például hőmérő, sebességmérő, nyomásmérő, feszültségmérő műszer, oszcilloszkóp stb.) segítségével kaphatunk. Ezen mért mennyiségeket fizikai mennyiségeknek nevezzük, melyek matematikai leírását változók bevezetésével végezzük, értékük pedig egy adott mértékegységben (például SI-egységrendszerben) kifejezett számérték.
Ha egy hűtött folyadék hőmérséklete például T=26 o C , akkor itt a folyamat például a folyadék hűtése valamilyen hűtőgéppel, s a folyadék hőmérsékletét (ez a fizikai mennyiség) hőmérővel mérjük, a hőmérsékletet pedig a T változóval jelöljük, és a folyadék 26 celsius fokos.
A jel a fizikai mennyiség olyan értéke vagy értékváltozása, amely egy egyértelműen hozzárendelt információt hordoz. A jel tehát információtartalommal bír. Sok esetben a változó és a jel ugyanazt jelenti.
Jelek matematikai leírására függvényeket alkalmazunk, melyek (legegyszerűbb, de tipikus esetben) egy független változó és egy függő változó között egyértelmű kapcsolatot adnak meg. A független változó (a függvény argumentuma) értékeinek halmaza alkotja a függvény értelmezési tartományát, a függő változó összes értéke pedig a függvény értékkészletét.
Ha a jel az idő argumentum minden valós értékére értelmezett, akkor folytonos idejű jelről beszélünk. Ha az ilyen ún. analóg jelből mintákat veszünk, akkor diszkrét idejű jelről beszélünk.
Folytonos idejű jeleket a következő módon adhatunk meg:
időfüggvénnyel (képlettel), grafikonon ábrázolva, értékeinek felsorolásával (mintavételezés), differenciálegyenlettel.
A következőkben az egyes esetekre példát is láthatunk.
A tananyagban csak determinisztikus jelekkel foglalkozunk. Egy jelet determinisztikus jelnek nevezünk, ha értéke minden időpillanatban ismert vagy meghatározható, kielégítő pontossággal mérhető, s az megismételhető folyamatot ír le. Ilyenkor a jel elvileg képlettel, időfüggvénnyel leírható. Ennek párja a sztochasztikus jel. Sztochasztikus jelről beszélünk, ha a jel mérésére tett kísérletek különböző, ,,véletlenszerű" eredményeket szolgáltatnak. Ebben az esetben nem tudunk egyértelműen egy időfüggvényt megadni, hanem a jel statisztikus tulajdonságait kell meghatározni, pl. a jel ún. várható értékét.
Folytonos idejű és diszkrét idejű jelek
x( t )=2,5 sin⁡( 2 π 50 t+π/18 ) (1)
Megjegyezzük, hogy t jelöli a folytonos időt. Az 1. modulban láthattuk, hogy a jelek betűjele mellett szereplő (t) jelölést elhagytuk, ekkor x=x( t ) , de a tárgyalás elején egyértelműsíteni kell, hogy x folytonos idejű.
A modern irányítási rendszerek számítógéppel támogatott rendszerek, amelyek a folytonos idejű jelekből mintavételezési hardverek segítségével valamilyen T s mintavételezési periódusidővel mintákat vesznek. Az (1) jel például a T s = 1 500 s mintavételezési periódusidővel az
x( t k )=2,5 sin⁡( 2 π 50 1 500 k+π/18 )=2,5 sin⁡( 0,2 π k+π/18 )
alakban írható fel, ahol t k =k T s és k egész szám. Utóbbi egy ún. diszkrét idejű jel, ami az
x[ k ]=2,5 sin⁡( 0,2 π k+π/18 ) (2)
mintasorozattal írható fel, s az argumentumban csak azt jelöljük, hogy hányadik mintáról van szó.
Az (1) képlettel adott folytonos idejű és a (2) formulával felírt diszkrét idejű jelet az 1. ábrán látható módon lehet grafikusan ábrázolni.
Szinuszos jelekkel még foglalkozunk, itt csak példaként szolgál.
A továbbiakban csak folytonos idejű jelekkel foglalkozunk.
Folytonos idejű és diszkrét idejű jelek grafikus ábrázolása
1. ábra
Az egységugrásjel
Az egységugrásjel (Heaviside-függvény) a rendszerelméletben fontos szerepet tölt be, jele és definíciója az alábbi (2. ábra):
1( t )={ 0, h a t<0, 1, h a t>0, (3)
azaz a t=0 helyen ennek a jelnek egységnyi ugrása van. A jel értéke a t<0 időpillanatokban nulla, felette pedig egységnyi. Ez a jel belépő jellegű, mert a t=0 időpillanatban kezdődik a nullától különböző érték, úgy mondjuk, a t=0 helyen lép be.
A Heaviside-függvény egy szelep (kapcsoló) működését írja le. Ha ez a szelep például egy csövön helyezkedik el, amelyben valamilyen anyag áramlik, és a szelepet a t=0 időpillanatban kapcsoljuk be, akkor a bekapcsolás előtt nem volt anyagáramlás, a bekapcsolás után viszont rögtön elindul az anyagáramlás.
Az egységugrásjel (bal oldal) és eltoltja tau > 0 (jobb oldal) esetén
2. ábra
Az y( t )=1( t )f( t ) szorzatfüggvény például egy olyan belépő időfüggvény, amely a t<0 időpillanatokban nulla, hiszen ott 1( t ) definíció szerint zérus, a t>0 időpillanatokban pedig az f( t ) függvény szerint alakul. Erre mutat példát a 3. ábra.
A belépőjel a t < 0 időpillanatokban zérus értékű
3. ábra
Az ún. eltolt egységugrásjel időben eltolva jelenik meg (2. ábra):
1( t−τ )={ 0, ha t<τ, 1, ha t>τ. (4)
Ha τ>0 , akkor az egységugrásjel jobbra tolódik, ellenkező esetben balra. Az y( t )=1( t−T )f( t−T ) szorzatfüggvény a T időpillanatban lép be, azaz a t<T időpillanatokban nulla. Figyeljük meg, hogy a t helyére mindenhol t-T kerül (4. ábra).
A T helyen belépő jel a t < T időpillanatokban zérus értékű
4. ábra
A 4. ábrán szereplő jelet úgy kapjuk, hogy a 3. ábrán szereplő jelet egyszerűen jobbra eltoljuk T értékkel, a függvény lefutása nem változik meg.
Illusztratív példák az egységugrásjel alkalmazására
Írjuk fel az 5. ábrán látható három időfüggvény képletét!
Az illusztrációban szereplő időfüggvények grafikonja
5. ábra
A felvázolt jelek ún. ablakozott jelek, ami annyit jelent, hogy a függvény értéke egy intervallumon (az ablakon) kívül mindenütt nulla. Ez az intervallum a t∈[ 0,…,T ] . Az ablakot a
h( t )=1( t )−1( t−T ) (5)
jelöli ki, ami a 2. ábrán látható két függvény különbsége. A h( t ) függvény a t<0 időpillanatokban nyilvánvalóan nulla, ugyanez igaz a t>T időpillanatokra is. Előbbi intervallumon 1( t ) is és 1( t−T ) is nulla, a t>T időpillanatokban viszont mindkettő egységnyi, különbségűk tehát nulla. A kérdéses t∈[ 0,…,T ] intervallumon viszont 1( t ) egységnyi értékű, de 1( t−T ) nulla, azaz különbségük egységnyi.
Ha a h( t ) ablakozó függvénnyel beszorzunk egy f( t ) függvényt, akkor olyan függvényt kapunk eredményül, ami a t∈[ 0,…,T ] intervallumon az f( t ) függvénnyel egyezik meg, azon kívül pedig nulla.
Az 5. ábrán a bal oldali x=x( t ) függvény ezen intervallumban konstans, azaz
x( t )=A[ 1( t )−1( t−T ) ]
A jobb oldali ábrán két időfüggvény is szerepel. A folytonos vonallal rajzolt y=y( t ) időfüggvény egy lineáris növekvő egyenes szerint alakul, s így
y( t )=A t T [ 1( t )−1( t−T ) ]
A pontvonallal rajzolt egyenes csökkenő, vagyis
y( t )=A( 1− t T )[ 1( t )−1( t−T ) ]
A Dirac-impulzus
A Dirac-impulzus egy nagyon rövid ideig tartó, egységnyi alapterületű, tűszerű impulzus matematikai leírására szolgál.
A Dirac-impulzus szemléltetése
6. ábra
Egyszerűen és szemléletesen úgy juthatunk el a Dirac-impulzushoz, hogy vesszük a 2. ábrán látható egységugrásjelnek és eltoltjának a különbségét, s az így előálló jelet 1 τ -val beszorozzuk, majd a τ értékét fokozatosan nullához csökkentjük, ahogy az a 6. ábrán látható. Ha úgy tetszik, az 5. ábrán látható bal oldali jel esetén A=1/τ .
A δ( t,τ ) -val jelölt ún. egységnyi intenzitású impulzus területe mindig egységnyi, hiszen szélessége τ, magassága pedig 1 τ , képlet formájában pedig a következőképp írhatjuk fel:
δ( t,τ )= 1( t )−1( t−τ ) τ (6)
Ha τ→0 , akkor δ( t,τ )→δ( t ) , ami a Dirac-féle deltafüggvény, vagy Dirac-impulzus. A Dirac-impulzus értéke tehát minden t időpillanatban nulla, kivéve a t=0 helyet, ahol értéke oly mértékben nagy, hogy intenzitása, területe egységnyi. Ezt integrál formájában is ki lehet fejezni:
∫ −∞ ∞ δ( t )d t=1 (7)
Megjegyezzük, hogy a valóságban Dirac-delta ebben a formában nem létezik, de nagyon rövid ideig tartó, tűszerű impulzusok léteznek, amelyek matematikai leírására a δ( t ) függvény nagyon hatékonyan alkalmazható. Ilyen tűszerű impulzus például a kalapácsütés, vagy a villámlás.
Igazolás nélkül állítjuk, hogy az egységugrásjel idő szerinti deriváltja a Dirac-impulzus:
1 ′ ( t )=δ( t ) (8)
Ennek fordítottja, hogy a Dirac-impulzus integrálja pontosan az egységugrásjel:
1( t )= ∫ −∞ t δ( τ )d τ (9)
Ezt általánosított deriváltnak is hívjuk, s ugrással (véges szakadással) rendelkező jelek deriváltjának képzésében lesz segítségünkre.
2. Illusztratív példák
Próbálja meg önállóan megoldani a következő példákban kitűzött feladatokat! Ha nem sikerül, olvassa el figyelmesen a megoldást, és próbálkozzon újra!
a) Deriváljuk az 5. ábrán felvázolt ablakozott jeleket.
Az x( t )=A[ 1( t )−1( t−T ) ] deriváltját képezni egyszerű, hiszen az két ugrásfüggvény különbségéből áll, a derivált tehát:
x"( t )=A[ δ( t )−δ( t−T ) ]
A 7. ábrán bal oldalon vázoltuk fel ezt az időfüggvényt, amely két Dirac-impulzusból áll, s mindkettő A-val arányos területű: A δ( t ) és −A δ( t−T ) . Látható, hogy a függvény szakadásának helyén a t=0 helyen és a t=T helyen a deriváltban a szakadás mértékével arányos Dirac-impulzus jelenik meg.
Az illusztrációban szereplő deriváltak időfüggvénye
7. ábra
Az y( t )=A t T [ 1( t )−1( t−T ) ] függvény deriváltja némileg bonyolultabb, a szorzatfüggvény mindkét tagja ugyanis függ a t változótól. A függvény y( t )=a( t )b( t ) alakban felírható, ahol a( t )=[ 1( t )−1( t−T ) ] ablakozó függvény és a b( t )=A t T . A szorzatfüggvény deriválási szabálya szerint a derivált a következő:
( a b ) " = a ′ b+a b ′ = [ 1( t )−1( t−T ) ] " A t T +[ 1( t )−1( t−T ) ]( A t T )" ,
azaz
y ′ ( t )=[ δ( t )−δ( t−T ) ]A t T +[ 1( t )−1( t−T ) ]( A 1 T )
Ezután figyelembe kell venni, hogy δ( t )f( t )=δ( t )f( 0 ) , illetve δ( t−T )f( t )=δ( t−T )f( T ) , azaz a Dirac-deltával beszorzott függvényt ki kell számolni a Dirac-impulzus megjelenésének helyén, hiszen a Dirac-delta (következésképp a szorzatfüggvény is) mindenütt nulla, kivéve a megjelenésének helyén. Végeredményben:
A grafikon a 7. ábrán látható a jobb oldalon. Megjelenik egy konstans értékű ablakozott jel, ami a pozitív meredekségű egyenes deriváltjának felel meg. A derivált jel végén szereplő −A δ( t−T ) Dirac-impulzus -A-val arányos, ugyanis a jel A-ról ugrik 0-ra, azaz az ugrás értéke -A.
Az y( t )=A( 1− t T )[ 1( t )−1( t−T ) ] függvény deriváltja a fentiekhez hasonló módon vezethető le:
y ′ ( t )=A δ( t )−[ 1( t )−1( t−T ) ]( A 1 T )
A Dirac-delta a t=0 helyen jelenik meg, hiszen a függvénynek itt van ugrása, a derivált az ablakban negatív értékű, hiszen az egyenes negatív meredekségű.
b) Deriváljuk a 8. ábrán felvázolt ablakozott jelet:
x( t )=[ 1( t )−1( t−2 ) ] e −0,8 t
A jel értéke a t∈[ 0,…,2 ] intervallumon kívül nulla, azon belül pedig egy exponenciális függvény által leírt grafikon szerint alakul.
Az illusztrációban szereplő példa
8. ábra
A függvény egy x( t )=a( t )b( t ) szorzatfüggvény: az a( t )=[ 1( t )−1( t−2 ) ] ablakozó függvényből és a b( t )= e −0,8 t függvényből tevődik össze. A szorzatfüggvény deriválási szabálya szerint a derivált a következő:
( a b ) " = a ′ b+a b ′ = [ 1( t )−1( t−2 ) ] " e −0,8 t +[ 1( t )−1( t−2 ) ]( e −0,8 t )" ,
azaz
x ′ ( t )=[ δ( t )−δ( t−2 ) ] e −0,8 t +[ 1( t )−1( t−2 ) ]( −0,8 e −0,8 t )
Lényeges pont, hogy δ( t )f( t )=δ( t )f( 0 ) , azaz a Dirac-deltával beszorzott függvényt ki kell számolni a Dirac-impulzus megjelenésének helyén, hiszen a Dirac-delta (következésképp a szorzatfüggvény is) mindenütt nulla, kivéve a megjelenésének helyén. Végeredményben:
x ′ ( t )=δ( t )−δ( t−2 ) e −0,8⋅2 −0,8[ 1( t )−1( t−2 ) ] e −0,8 t
Látható, hogy a t=0 helyen egy Dirac-delta, a t=2 helyen pedig egy − e −0,8⋅2 -vel arányos Dirac-delta jelenik meg. Előbbi helyen a függvény egységnyit ugrik pozitív irányba, utóbbi helyen pedig e −0,8⋅2 értéket csökken, s ezen ugrások a deriváltban Dirac-deltának felelnek meg.

| Önellenőrző kérdések
Mi a jel?
Jellemezze a folytonos idejű és a diszkrét idejű jeleket!
Mi a mintavételezés lényege?
Definiálja az egységugrásjelet!
Mi az ablakozó jel és mire jó?
Mi a belépő jel?
Mi az egységnyi intenzitású impulzus?
Származtassa a Dirac-impulzust az egységnyi intenzitású impulzusból!
Mi az általánosított derivált?