KURZUS: Irányítástechnika

MODUL: Jelek és rendszerek

2.3. lecke: Illusztratív példák

| Cél: A lecke célja, hogy a hallgató megismerje az alapvető rendszerelméleti fogalmakat és összefüggéseket. Jelen lecke a fentiek alátámasztására néhány részletesen kidolgozott példát tartalmaz.
Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes
a feladatok önálló megoldására.
Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 180 percre lesz szüksége.
Kulcsfogalmak
jelek, rendszerek, ugrásválasz, impulzusválasz, konvolúció, állapotváltozós leírás, átviteli karakterisztika, Nyquist-diagram, Bode-diagram, átviteli függvény, Laplace-transzformáció.
1. Illusztratív példa
Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatokat! Használja a fenti összefüggéseket, hívja segítségül a lecke elején megadott elektronikus jegyzeteket! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatokat!
Egy folytonos idejű, lineáris, invariáns rendszer a következő állapotváltozós leírással adott:
x ˙ 1 =− x 1 + x 2 +u, x ˙ 2 =0,2 x 1 −0,4 x 2 , y= x 1 .
Írjuk fel a rendszert megadó A, b, c T, D paramétereket!
Ezen adatok az állapotváltozós leírásból kiolvashatók:
A=[ −1 1 0,2 −0,4 ] , b=[ 1 0 ] , c T =[ 1 0 ] , D=0 .
Általánosan:
x ˙ 1 = A 11 x 1 + A 12 x 2 + b 1 u, x ˙ 2 = A 21 x 1 + A 22 x 2 + b 2 u, y= c 1 x 1 + c 2 x 2 +D u.
Határozzuk meg a rendszer átviteli függvényét!
Ezt kétféleképp is megtehetjük:
1. | Felírjuk a transzformált egyenleteket, s az így előálló algebrai egyenletrendszert megoldjuk.
A Laplace-transzformált egyenletrendszer az alábbi:
s X 1 =− X 1 + X 2 +U, s X 2 =0,2 X 1 −0,4 X 2 , Y= X 1 .
A változókat nagybetűvel írjuk, ebben az egyenletrendszerben ugyanis nem időfüggvények szerepelnek, hanem transzformált változók. Az idő szerinti deriváltat lecseréljük a transzformált változó és az s változó szorzatára. Ez a három egyenlet algebrai egyenletrendszert alkot, amelynek megoldása egyszerű feladat.
Ebből kell a W=Y/U hányadost kifejezni, s azt polinom per polinom alakra hozni. Ismertnek kell tehát feltételezni az u=u( t ) bemeneti jel U=U( s ) transzformáltját, s ismeretlennek az X 1 = X 1 ( s ) , X 2 = X 2 ( s ) , Y=Y( s ) változókat.
Az egyenletrendszert bármilyen egyenletrendszer-megoldó technikával meg lehet oldani. Fejezzük ki például az első egyenletből az X 2 változót:
X 2 =( s+1 ) X 1 −U ,
és helyettesítsük ezt a második egyenletbe. A zárójelek felbontása és rendezés után a következő kifejezést kapjuk:
( s 2 +1,4 s+0,2 ) X 1 =( s+0,4 )U ,
azaz
X 1 = s+0,4 s 2 +1,4 s+0,2 U.
Helyettesítsük ezt a harmadik egyenletbe, ahonnan:
W( s )= Y U = s+0,4 s 2 +1,4 s+0,2 = s+0,4 ( s+1,24 )( s+0,16 ) .
Az első alak a polinom per polinom alak, másképp kifejezve, racionális törtfüggvényként felírt alak. A második pedig a gyöktényezős alak, amikor a számlálóból és a nevezőből adódó polinomokat egyenlővé tesszük nullával, s ebből meghatározzuk a gyököket. Itt a nevező átalakításában a másodfokú egyenlet megoldóképletét használtuk. A nevező polinomjának fokszáma mindig nagyobb, mint a számláló polinomjának fokszáma, legfeljebb egyenlő azzal.
A rendszer egyetlen zérusa s 1 =−0,4 , pólusai pedig p 1 =−1,24 , és p 2 =−0,16 (l. 2. lecke (41) gyöktényezős alak).
2. | Használjuk a 2. leckében lévő (50) módszert. Írjuk át az inverzmátrix kifejezését a lineáris algebrából ismert adjungált mátrix és a determináns hányadosaként:
W( s )= c T adj( s E−A )b+D| s E−A | | s E−A | (1)
A determináns kifejtése a következő polinomot eredményezi:
| s E−A |=| [ s 0 0 s ]−[ −1 1 0,2 −0,4 ] |=| s+1 −1 −0,2 s+0,4 |=( s+1 )( s+0,4 )−0,2= s 2 +1,4 s+0,2
A polinom előállítása (a 2×2 méretű determináns kifejtése) tehát úgy történik, hogy a főátlóban lévő elemek ( s+1 és s+0,4 ) szorzatából kivonjuk a mellékátlóban szereplő tényezők (-1 és -0,2) szorzatát.
Az adjungált mátrix számítása 2×2 méretű mátrix esetében egyszerű, a következő sémát kell alkalmazni:
adj[ s+1 −1 −0,2 s+0,4 ]→[ s+0,4 −0,2 −1 s+1 ]→[ s+0,4 −1 −0,2 s+1 ]→[ s+0,4 1 0,2 s+1 ]
Első lépésben (első nyíl) az ( i,j ) elem felírásához le kell takarni az i-edik sort és a j-edik oszlopot, s az így megmaradt skalár kifejezést kell beírni az ( i,j ) helyre. Ezután (második nyíl) transzponálni, azaz a főátlóra tükrözni kell a mátrixot, végül (harmadik nyíl) a sakktábla-szabályt kell alkalmazni, azaz az előjeleket a [ +1 −1 −1 +1 ] formulának megfelelően kell felcserélni. Ez az adjungált mátrix,
adj[ s+1 −1 −0,2 s+0,4 ]=[ s+0,4 1 0,2 s+1 ]
Nagyobb méretű mátrixok esetében a művelet jóval hosszabb.
Végezzük el a számlálóban szereplő szorzásokat, azaz szorozzuk az adjungált mátrixot jobbról egy oszlopvektorral, s balról egy sorvektorral. Ez egy skalár kifejezést szolgáltat:
[ 1 0 ][ s+0,4 1 0,2 s+1 ][ 1 0 ]=[ 1 0 ][ s+0,4 0,2 ] =s+0,4.
Részletesen kifejtve: mátrixot jobbról oszlopvektorral úgy kell szorozni, hogy a vektor első elemével beszorozzuk a mátrix első oszlopának elemeit, majd a vektor második elemével a mátrix második oszlopának elemeit, s az így előálló séma soraiban lévő elemeket összeadjuk, azaz
[ A 11 A 12 A 21 A 22 ][ b 1 b 2 ]=[ A 11 b 1 + A 12 b 2 A 21 b 1 + A 22 b 2 ]
ami egy oszlopvektor. Ezt ezután balról kell szorozni sorvektorral a következő séma szerint:
[ c 1 c 2 ][ A 11 b 1 + A 12 b 2 A 21 b 1 + A 22 b 2 ]= c 1 ( A 11 b 1 + A 12 b 2 )+ c 2 ( A 21 b 1 + A 22 b 2 )
Így kapjuk az s+0,4 kifejezést. A D paraméter nulla, azaz:
W= c T adj( s E−A )b+D| s E−A | | s E−A | = s+0,4 s 2 +1,4 s+0,2 = s+0,4 ( s+1,24 )( s+0,16 ) .
Az eredmény természetesen megegyezik a 1. megoldás eredményével.
Az átviteli karakterisztika ugyanígy határozható meg, de s helyett végig j ω írandó.
Adjuk meg a rendszeregyenletet!
Ezt a feladatot szándékosan az átviteli függvény meghatározása után tettük.
A rendszeregyenlet meghatározható az állapotváltozós leírás alapján is, de az kissé hosszadalmas, a hivatkozott irodalomban az érdeklődő Olvasó megtalálja. Itt a gyorsabb utat mutatjuk be, azaz használjuk az átviteli függvényt:
W= Y U = s+0,4 s 2 +1,4 s+0,2 ,
ahonnan:
Y s 2 +1,4 Y s+0,2 Y=U s+0,4 U
Felhasználva az idő szerinti deriválás és a neki megfelelő transzformált közti kapcsolatot, írhatjuk, hogy:
y""+1,4 y"+0,2 y=u"+0,4 u
Megjegyezzük, hogy az átírás fordítva is igaz, azaz a rendszeregyenletből az átviteli függvény könnyedén felírható.
Határozzuk meg a rendszer impulzusválaszát!
Az impulzusválasz - és sok egyéb belépő jelre adott válasz - a Laplace-transzformáció kifejtési tétele alapján számítható a legegyszerűbben. Az impulzusválasz az átviteli függvény inverz Laplace-transzformáltja.
Induljunk ki a gyöktényezős alakból, ami parciális törtekre bontható:
W= s+0,4 ( s+1,24 )( s+0,16 ) = A s+1,24 + B s+0,16
Az A és B paraméterek értékét a letakarásos módszerrel egyszerű számolni. Az A paramétert például úgy kell számolni, hogy a gyöktényezős alakban letakarjuk az ( s+1,24 ) tagot, s a megmaradt törtben s helyébe -1,24-et helyettesítünk, azaz
A= −1,24+0,4 −1,24+0,16 =0,78 ,
hasonlóképp:
B= −0,16+0,4 −0,16+1,24 =0,22 ,
azaz:
W= s+0,4 ( s+1,24 )( s+0,16 ) = 0,78 s+1,24 + 0,22 s+0,16
Ellenőrzésképp érdemes lehet ezt az egyenlőséget ellenőrizni úgy, hogy a parciális törtek összegeként felírt alakot közös nevezőre hozzuk.
Ha a parciális törtekre bontott alak rendelkezésre áll, akkor már csak az 1. transzformációs táblázatból ki kell keresni az egyes törtekhez tartozó időfüggvényt, jelen esetben:
w( t )=1( t )( 0,78 e −1,24 t +0,22 e −0,16 t )
Határozzuk meg a rendszer ugrásválaszát!
Használjuk a 2. leckében található (45) összefüggést:
V= 1 s W= s+0,4 s( s+1,24 )( s+0,16 ) = A s + B s+1,24 + C s+0,16 .
A kifejtési tétel értelmében:
A= 0+0,4 ( 0+1,24 )( 0+0,16 ) =2,02 ,
B= −1,24+0,4 −1,24 ( −1.24+0,16 ) =−0,63 ,
C= −0.16+0,4 −0.16( −0.16+1,24 ) =−1,39 ,
azaz:
V= s+0,4 s( s+1,24 )( s+0,16 ) = 2,02 s + −0,63 s+1,24 + −1,39 s+0,16 .
Az ugrásválasz pedig:
v( t )=1( t )( 2,02−0,63 e −1,24 t −1,39 e −0,16 t ) .
Ellenőrizzük az impulzusválasz és az ugrásválasz kapcsolatát az időtartományban!
Az ugrásválasz idő szerinti általánosított deriváltja az impulzusválasz. A deriválást a szorzatfüggvény deriváltjaként kell elvégezni:
w( t )= v "( t ) = 1 ′ ( t )( 2,02−0,63 e −1,24 t −1,39 e −0,16 t )+1( t )( 2,02−0,63 e −1,24 t −1,39 e −0,16 t )"
A deriválásokat elvégezve:
w( t )=δ( t ) ( 2,02−0,63 e −1,24 t −1,39 e −0,16 t ) | t=0 +1( t )( 0,78 e −1,24 t +0,22 e −0,16 t )
Az első tag értéke zérus, a végeredmény pedig megegyezik a korábban is kiszámított impulzusválasszal.
Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ha egy függvényt Dirac-deltával szorzunk, akkor a függvényt a Dirac-delta helyén (itt a t=0 helyen) ki kell számolni, hiszen a Dirac-delta függvény mindenütt nulla, kivéve a Dirac-impulzus helyén.
Vizsgáljuk meg a rendszer stabilitását!
A rendszer aszimptotikus stabilitása az állapotváltozós leírás rendszermátrixa alapján vizsgálandó. A rendszermátrixból nyert karakterisztikus egyenlet és a sajátértékek az alábbiak:
| λ+1 −1 −0,2 λ+0,4 |= λ 2 +1,4 λ+0,2=0→ λ 1 =−1,24, λ 2 =−0,16.
Ezen sajátértékek valós része negatív, így a rendszer aszimptotikusan stabil. Ezen sajátértékek az állapotvektor tranziens összetevőjében M e λ t alakban szerepelnek, s mivel lecsengő jellegűek, az állapotvektor nullvektorhoz tart.
A gerjesztés-válasz stabilitás definíció szerint az impulzusválasz alapján vizsgálandó. Ha az impulzusválasz nullához tart miközben az idő a végtelenhez (azaz stacionárius állapotban), akkor a rendszer gerjesztés-válasz stabil. Amennyiben az impulzusválasz exponenciális függvényeiben szereplő sajátértékek valós része negatív, úgy ez biztosan teljesül. Az impulzusválaszban szereplő sajátértékek megegyeznek az átviteli függvény nevezőjéből alkotott polinom gyökeivel, azaz a pólusokkal. A gerjesztés-válasz stabilitásról tehát a pólusok ismeretében is lehet nyilatkozni.
Figyelem! Ha egy rendszer aszimptotikusan stabil, akkor biztos, hogy gerjesztés-válasz stabil. Fordítva ez nem biztos, hogy igaz.
Az aszimptotikusan stabil rendszer esetén tehát az x( t ) állapotvektor nullához tart. Ha emellett a gerjesztőjel korlátos, akkor az y( t )= c T x( t )+D u( t ) biztosan korlátos lesz. Az aszimptotikusan stabil rendszer tehát biztosan gerjesztés-válasz stabil. Az azonban, hogy mely sajátértékek kerülnek a kimenőjelet megadó időfüggvénybe, a c T sorvektortól függ, ami esetleg nullával szorozza be azon x(t) állapotváltozó(ka)t, amely(ek) exponenciálisan növekvő, azaz nem aszimptotikusan stabil összetevő(ke)t is tartalmaz(nak). Az átviteli függvény meghatározása során mindez könnyebben látható: a számlálóban lévő zérus kiejti a nevezőben szereplő pólust. Ha tehát valamely rendszer gerjesztés-válasz stabil, az nem biztos, hogy aszimptotikusan is stabil.
Határozzuk meg a rendszer válaszát, ha u( t )=1( t )4 e −2 t !
Ekkor:
Y=W U=4 s+0,4 ( s+1,24 )( s+0,16 )( s+2 ) = A s+1,24 + B s+0,16 + C s+2 .
A kifejtési tételt használva kapjuk, hogy
A=4 −1.24+0,4 ( −1,24+0,16 )( −1,24+2 ) =4,1 ,
B=4 −0,16+0,4 ( −0,16+1,24 ) ( −0,16+2 ) =0,48 ,
C=4 −2+0,4 ( −2+1,24 )( −2+0,16 ) =−4,58 ,
azaz a válaszjel a következő:
y( t )=1( t )( 4,1 e −1,24 t +0,48 e −0,16 t −4,58 e −2 t )
Határozzuk meg a rendszer átviteli karakterisztikáját!
Ha a rendszer gerjesztés-válasz stabil, akkor j ω=s helyettesítés alkalmazható, vagyis az átviteli karakterisztika:
W( j ω )= j ω+0,4 ( j ω ) 2 +1,4 j ω+0,2 = j ω+0,4 ( j ω+1,24 )( j ω+0,16 )
A karakterisztikát meghatározhatjuk természetesen a (29) módszer alapján is.
Határozzuk meg a rendszer állandósult válaszát, ha a gerjesztés a nem belépő u( t )=1,5 cos( 2 t+ 10 o ) !
Az átviteli karakterisztika és a gerjesztés komplex csúcsértékének felhasználásával a válasz komplex csúcsértéke kifejezhető:
Y ¯ = W ¯ U ¯ = j 2+0,4 ( j 2 ) 2 +1,4 j 2+0,2 1,5 e j 10 o =0,43 e −j 64,93 o 1,5 e j 10 o =0,65 e −j 54,93 o
Az állandósult válasz tehát a következő szinuszos jel:
y( t )=0,65 cos( 2 t− 54,93 o )
amelynek van fizikai tartalma, hiszen a rendszer gerjesztés-válasz stabil.
Rajzoljuk fel a Bode-diagramot!
A Bode-féle normálalak a gyöktényezős alakból kiindulva egyszerűen felírható:
W( j ω )= j ω+0,4 ( j ω+1,24 )( j ω+0,16 ) = 0,4 1,24⋅0,16 1+ j ω 0,4 ( 1+ j ω 1,24 )( 1+ j ω 0,16 ) =2,02 1+ j ω 0,4 ( 1+ j ω 1,24 )( 1+ j ω 0,16 )
A karakterisztika négy részből tevődik össze, amelyeket külön-külön meg lehet rajzolni, ahogy az az 1. és a 2. ábrán látható.
A példában szereplő törtvonalas amplitúdódiagram
1. ábra
A nevező két sarok-körfrekvenciája a 0,16 és az 1,24, ahol az egyes tagok közelítő amplitúdókarakterisztikája -20dB/dekád meredekséggel indul. A számlálóban szereplő 0,4 körfrekvenciától +20dB/dekád meredekség szerint nő a karakterisztika. Ezt a három részeredményt az 1. ábrán vékony vonallal feltüntettük. A karakterisztikában szereplő 2,02 frekvenciafüggetlen, ami felfelé tolja az eredő diagramot. Ha ezeket a részeredményeket összeadjuk, megkapjuk az 1. ábrán vastag vonallal felvázolt amplitúdódiagramot.
A példában szereplő törtvonalas fázisdiagram
2. ábra
A nevező két sarok-körfrekvenciája a 0,16 és az 1,24, ahol az egyes tagok közelítő fáziskarakterisztikája -45°. A sarok-körfrekvencia alatt egy dekáddal az érték 0°, felette egy dekáddal -90°. A számlálóban szereplő Bode-alak hasonlóképp alakul, csak a pozitív tartományban. Ezt a három részeredményt a 2. ábrán vékony vonallal feltüntettük. A karakterisztikában szereplő 2,02 frekvenciafüggetlen, s mivel pozitív előjelű, nem szól bele a karakterisztika alakulásába. Ha ezeket a részeredményeket összeadjuk, megkapjuk a 2. ábrán vastag vonallal felvázolt amplitúdódiagramot. Ennél a diagramnál jobban oda kell figyelni, mert több töréspontja van.
2. Illusztratív példa
Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatokat! Használja a fenti összefüggéseket, hívja segítségül a lecke elején megadott elektronikus jegyzeteket! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatokat!
Egy folytonos idejű, lineáris, invariáns rendszert a következő átviteli függvénnyel írunk le:
W( s )= 5 s ( s+2 )( s+4 )
Határozzuk meg a rendszer impulzusválaszát!
Az impulzusválasz az átviteli függvény inverz Laplace-transzformáltja. A kifejtési tétel alapján írhatjuk, hogy:
W( s )= 5 s ( s+2 )( s+4 ) = 5( −2 ) −2+4 s+2 + 5( −4 ) −4+2 s+4 = −5 s+2 + 10 s+4 ,
azaz:
w( t )=1( t )( −5 e −2 t +10 e −4 t )
Határozzuk meg a rendszer ugrásválaszát!
Az impulzusválasz az átviteli függvény inverz Laplace-transzformáltja. A kifejtési tétel alapján írhatjuk, hogy:
V( s )= 1 s W( s )= 5 ( s+2 )( s+4 ) = 5 −2+4 s+2 + 5 −4+2 s+4 = 2,5 s+2 + −2,5 s+4 ,
azaz:
v( t )=1( t )( 2,5 e −2 t −2,5 e −4 t )
Ellenőrzésképp célszerű deriválni ezt a kifejezést, az impulzusválaszt kell kapjuk eredményül.
Gyakorlásképp határozzuk meg az ugrásválaszt az impulzusválasz integrálásával is!
Az általánosított derivált fogalma értelmében az integrálást a következőképp kell elvégezni:
v( t )= ∫ 0 t w( τ )d τ= ∫ 0 t ( −5 e −2 τ +10 e −4 τ )d τ=−5 [ e −2 τ −2 ] 0 t +10 [ e −4 τ −4 ] 0 t
Az integrálási határok behelyettesítése után kapjuk a feladatban szereplő impulzusválasz kifejezését. Érezhető, hogy a Laplace-transzformáltak világában egyszerűbb dolgozni.
Határozzuk meg a rendszer kimeneti jelét, ha a gerjesztés az u( t )=1( t )−1( t−10 ) !
A válaszjel Laplace-transzformáltja U( s )= 1 s − 1 s e −s 10 , így a válaszjel Laplace-transzformáltja felírható a következő alakban:
Y( s )=W( s )U( s )= 5 s ( s+2 )( s+4 ) ( 1 s − 1 s e −s 10 )= 5 ( s+2 )( s+4 ) − 5 ( s+2 )( s+4 ) e −s 10
A v( t ) jel ismeretében:
y( t )=1( t )( 2,5 e −2 t −2,5 e −4 t )−1( t−10 )( 2,5 e −2( t−10 ) −2,5 e −4( t−10 ) )
3. Illusztratív példa
Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatokat! Használja a fenti összefüggéseket, hívja segítségül a lecke elején megadott elektronikus jegyzeteket! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatokat!
Két egytárolós, folytonos idejű rendszert összekapcsolunk különféle módon. Határozzuk meg az egyes összetett rendszerek eredő átviteli függvényét! Legyen
W 1 ( s )= 5 s+2 ,
és
W 2 ( s )= 10 s+4
Soros kapcsolás
Sorosan kapcsolt rendszerek esetében az első rendszer kimenete a második rendszer bemenetévé válik, ahogy az a 3. ábrán is látható.
Sorosan kapcsolt rendszerek hatásvázlata
3. ábra
A válaszjel a második rendszer kimeneti jele, amelynek Laplace-transzformáltja kifejezhető:
Y( s )= W 2 ( s )F( s ) ,
de F( s ) felírható az
F( s )= W 1 ( s )U( s )
alakban, azaz
Y( s )= W 1 ( s ) W 2 ( s )U( s ) ,
a rendszer eredő átviteli függvénye pedig a sorbakapcsolt rendszerek átviteli függvényeinek a szorzata:
W( s )= Y( s ) U( s ) = W 1 ( s ) W 2 ( s ) (2)
Itt
W( s )= 5 s+2 10 s+4 ,
az impulzusválasz pedig w( t )=1( t )25( e −2 t − e −4 t ) .
Párhuzamos kapcsolás
A párhuzamos kapcsolás esetén a párhuzamosan kapcsolt rendszerek bemeneti jele megegyezik, a rendszerek kimeneteinek például az összege adja az eredő rendszer kimenetét (l. 4. ábra).
Párhuzamosan kapcsolt rendszerek hatásvázlata
4. ábra
A rendszer kimenőjele itt két jel összege, az összeadás a transzformáltakra is fennáll:
Y( s )= Y 1 ( s )+ Y 2 ( s )= W 1 ( s )U( s )+ W 2 ( s )U( s ) ,
azaz
W( s )= Y( s ) U( s ) = W 1 ( s )+ W 2 ( s ) , (3)
vagyis
W( s )= 5 s+2 + 10 s+4 = 15 s+40 ( s+2 )( s+4 ) ,
az impulzusválasz pedig w( t )=1( t )( 5 e −2 t +10 e −4 t ) .
Visszacsatolást tartalmazó kapcsolás
A rendszert az 5. ábra mutatja:
5. ábra
Visszacsatolást tartalmazó rendszer hatásvázlata
Az F( s ) változó felírása segítségül szolgál az eredő átviteli függvény felírásában,
F( s )=U( s )−Y( s ) ,
így
Y( s )= W 1 ( s ) W 2 ( s )F( s )= W 1 ( s ) W 2 ( s )U( s )− W 1 ( s ) W 2 ( s )Y( s )
Átrendezéssel kapjuk a negatív visszacsatolású rendszer eredő átviteli függvényét:
W( s )= Y( s ) U( s ) = W 1 ( s ) W 2 ( s ) 1+ W 1 ( s ) W 2 ( s ) (4)
Ez az összefüggés szabályozási körök tervezésében nagyon fontos, hiszen W 1 ( s ) reprezentálja a tervezendő szabályozót, W 2 ( s ) pedig a szabályozandó szakaszt.
Ha a visszacsatolás pozitív, akkor:
W( s )= Y( s ) U( s ) = W 1 ( s ) W 2 ( s ) 1− W 1 ( s ) W 2 ( s ) (5)
Ebben a példában a negatív és a pozitív visszacsatolt rendszer eredő átviteli függvénye az alábbi:
W( s )= 50 s 2 +6 s+58 ,
illetve
W( s )= 50 s 2 +6 s−42
Az impulzusválasz a második esetben egyszerű: w( t )=1( t )( −3,5 e −10,14 t +3,5 e 4,14 t ) , de a visszacsatolás labilissá teszi a rendszert, hiszen a második pólus pozitív!
A negatívan visszacsatolt rendszer impulzusválasza a részlettörtekre bontás után a következő:
w( t )=1( t )( −3,57 je ( −3+j 7 )t +3,57 je ( −3−j 7 )t )
Az impulzusválasz komplex időfüggvény, hiszen a pólusok komplex konjugált párt alkotnak. Az impulzusválaszt ebben a formájában nem tudjuk értelmezni, azt át kell alakítani a következő módon. Bontsuk fel először az exponenciális kitevőket:
w( t )=1( t )( −3,57 je −3 t e j 7 t +3,57 je −3 t e −j 7 t )
A −3,57 je −3 t tag kiemelhető, s így:
w( t )=−3,57 je −3 t 1( t )( e j 7 t − e −j 7 t )
Itt felhasználhatjuk a:
sin φ= e j φ − e −j φ 2 j ,
és
cos φ= e j φ + e −j φ 2 (6)
azonosságok közül a szinuszfüggvényre vonatkozót, illetve, hogy 1/j=−j :
w( t )=3,57 e −3 t 1( t ) e j 7 t − e −j 7 t 2 j 2=7,14 e −3 t 1( t )sin⁡7 t
Az impulzusválasz időfüggvénye a 6. ábrán látható.
Az ún. exponenciális burkológörbéjű szinuszos jel az impulzusválaszban
6. ábra
Ebben a példában jól látható, hogy a komplex pólus valós része szerepel az exponenciális függvény kitevőjében, így a stabilitásvizsgálatban csak a valós részt kell vizsgálni. Az imaginárius komponens a lengő jellegű tranziens körfrekvenciáját határozza meg.
4. Illusztratív példa
Olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatokat!
Ebben a példában az egyik legegyszerűbb feladatot kitűzve bemutatjuk az összetevőkre bontás módszerét. A feladatot érdemes megoldani a Laplace-transzformáció módszereivel, látni fogjuk, hogy az utóbbi módszer jóval egyszerűbb utat ad a megoldáshoz.
Az összetevőkre bontás módszerével határozzuk meg az alábbi állapotváltozós leírással adott rendszer ugrásválaszát és impulzusválaszát!
x ˙ =−2 x+4 u,
y=3 x+5 u ,
x( 0 )=0
Első lépésben az állapotegyenletet és a kezdeti feltételt kielégítő x=x( t ) állapotváltozót kell meghatározni a következő alakban:
x( t )= x tr ( t )+ x st ( t ) .
a) A tranziens komponens x tr ( t )=M e λ t függvénye kielégíti a homogén differenciálegyenletet, azaz
x ˙ tr =−2 x tr ,
itt
λ M e λ t =−2 M e λ t ,
a sajátérték tehát kiadódik: λ=−2 , a rendszer aszimptotikusan stabil, és így gerjesztés-válasz stabil. A tranziens tag: x tr ( t )=M e −2 t , az M paraméter értékét utolsó lépésként határozzuk meg.
b) A stacionárius komponens függvénye az ugrásválasz számításakor konstans, x st ( t )=K , aminek konkrét értékét az inhomogén differenciálegyenletbe helyettesítve kapunk meg:
x ˙ st =−2 x st +4,
itt
0=−2 K+4 ,
azaz K=2 . Az u helyére az egységugrásjelet helyettesítettük, aminek értéke 1, ha t>0 , következésképp a kapott K is csak a t>0 időpillanatokra igaz, a számított válaszjel tehát belépőjel.
A teljes időfüggvény tehát:
x=M e −2 t +2 ,
ha
t>0 .
c) Az M meghatározása az x( 0 ) kezdeti érték alapján történik:
x( 0 )=0=M e −2⋅0 +2 ,
azaz:
M=−2 ,
s így:
x( t )=−2 e −2 t +2 ,
ha
t≥0 ,
vagy
x( t )=1( t )2( 1− e −2 t ) .
A válaszjel (az ugrásválasz) a v( t )=3 x( t )+5⋅1( t ) alapján az alábbi (lásd 7. ábra):
v( t )=1( t )( 11−6 e −2 t ) .
Az ugrásválasz általánosított deriváltja az impulzusválasz (lásd 7. ábra):
w( t )=5 δ( t )+1( t )12 e −2 t .
Érdemes a kapott eredményeket ellenőrizni a Laplace-transzformáción alapuló módszerrel!
Megjegyezzük, hogy az állapotváltozós leírásban szereplő D konstans az ugrásválaszban D nagyságú ugrást eredményez a t=0 helyen, és D δ( t ) tagként megjelenik az impulzusválaszban.
A példában szereplő rendszer ugrásválasza és impulzusválasza
7. ábra

| Önellenőrző kérdések
1. Adja meg az alábbi rendszeregyenleteknek megfelelő átviteli függvényt! Adja meg a rendszer impulzusválaszát és ugrásválaszát!
a) y ′ +2 y=u ,
b) y ′ +2 y= u ′ +2 u ,
c) 5 y ″ +2 y ′ +y=3 u ′ +u ,
d) y ″ +6 y'+8 y=u .
2. A végérték-tételek felhasználásával ellenőrizze az ugrásválasz és az impulzusválasz kezdeti értékét és végértékét!
3. Vázolja fel a Bode-féle közelítő amplitúdómenetet és fázismenetet! Határozza meg az áviteli karakterisztika pontos és közelítő értékét az ω=2 , ω=20 és ω=200 helyeken!
W( s )= 1+10 s ( 1+0,1 s )( 1+s )
4. Nyilatkozzon az alábbi rendszerek stabilitásáról!
a) x ˙ 1 = x 1 + x 2 +2 u, x ˙ 2 =0,2 x 1 +0,4 x 2 , y= x 1 .
b) W( s )= s−4 ( s−5 )( s+5 )
a) A rendszermátrixból számított sajátértékek valósak és pozitívak (1,24 és 0,16), a rendszer aszimptotikusan nem stabil, s emiatt nem gerjesztés-válasz stabil;
b) Az átviteli függvény két pólusa valós: -5 és +5. Az egyik pólus pozitív, így biztosan nem gerjesztés-válasz stabil. Az aszimptotikus stabilitás az átviteli függvény alapján nem dönthető el.
5. Adja meg a 3. feladatban szereplő rendszer ugrásválaszát, impulzusválaszát és a nem belépő u( t )=2 cos⁡2 t jelre adott válaszát!