KURZUS: Irányítástechnika

MODUL: Az alapfogalmak áttekintő összefoglalása

1.3. lecke: A szükséges matematikai alapfogalmak áttekintése

| Cél: A lecke célja, hogy röviden áttekintsük azon matematikai ismeretanyagot, ami a továbbiak megértése szempontjából elengedhetetlen.
Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes
az itt közölt függvények felvázolására és képletének megadására, az itt közölt függvények deriváltjának képzésére, az itt közölt függvények integráljának képzésére, a komplex számokkal az itt közölt műveletek elvégzésére.
Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 120 percre lesz szüksége.
Kulcsfogalmak:
függvény, derivált, integrál, komplex szám.
1. Függvényekről röviden
Jegyezze fel az itt közölt függvények képletét és diagramját! Tanulja meg a függvény definícióját!
Röviden összefoglaljuk a legfontosabb tudnivalókat a függvényekről, s konkrétan néhány egyszerű függvényről.
A függvény definíciója a következő: y az x függvénye, ha x minden tekintetbe vehető értékéhez y-nak egy, vagy több meghatározott értéke tartozik. Az x értékek a függvény értelmezési tartományát, az y értékek pedig a függvény értékkészletét alkotják. A független x változót a vízszintes tengelyen, a függő y változót a függőleges tengelyen mérjük fel.
Irányítástechnikában, legegyszerűbb esetben egyváltozós időfüggvényekről beszélünk. Ebben az esetben a függvény értelmezési tartománya az 1. ábrán látható módon a t idő, értékkészlete pedig az időpillanatokhoz tartozó konkrét számérték. A függvénykapcsolatot a következőképp jelöljük:
y=y( t ) (1)
Az időfüggvény
1. ábra
A tananyagban csupán néhány függvényre szorítkozunk, ezek a következők:
Elsőfokú függvények. A legegyszerűbb algebrai függvény alakja egy egyenes,
y( t )=m t+b (2)
ahol m az egyenes meredeksége, b pedig az az érték, ahol az egyenes a függőleges tengelyt a t=0 helyen metszi.
Elsőfokú függvények
2. ábra
A 2. ábra két elsőfokú függvény alakulását mutatja. Az y=2 t+1 függvény meredeksége pozitív, a függvény tehát növekvő, a t=0 helyen értéke 1. Ugyanakkor az y=−4 t+5 egyenes negatív meredekségű, a függvény csökkenő tendenciát mutat, s értéke 5 a t=0 helyen.
Egyenes egyenletének felírásához két pontra van szükség az egyenesről, mivel (2) két paraméterrel bír. Erre később példát mutatunk.
Szinuszos függvény. Az
x( t )=X sin( ω t+φ ) (3)
alakú függvény rezgőmozgások leírására szolgál, de irányítástechnikában is lényeges szerepet tölt be. A függvény csúcsértékét X jelöli, ami a függvény amplitúdója, ω az ún. körfrekvencia, φ pedig a kezdőfázis. Sok esetben a szinuszos időfüggvény leírására a koszinuszos függvényt használjuk, a két függvény ugyanis egymásba alakítható, s ekkor
x( t )=X cos( ω t+φ ) (4)
Példa szinuszos függvényre
3. ábra
A 3. ábra az x( t )=2 sin( 2 π 0,2 t+π/3 ) időfüggvény alakulását mutatja, vagy ami ugyanaz, az x( t )=2 cos( 2 π 0,2 t+π/3−π/2 ) időfüggvényt.
Exponenciális függvény. Az
u( t )=M e λ t (5)
alakú függvény alapvető fontosságú a különféle ún. átmeneti folyamatok leírására, ahol M egy konstans számérték, a t=0 helyen a függvény az M értéknél metszi a függőleges tengelyt. Ha λ<0 , akkor a függvény az idő múlásával zérushoz tart (4. ábra folytonos vonallal jelölt függvénye), ha λ>0 , akkor a függvény minden határon túl növekszik (4. ábra szaggatott vonallal jelölt függvénye).
A 4. ábrán látható függvények közül a szaggatott vonallal vázolt függvény esetén a értéke abszolút értékben kisebb, így az lassabban változik.
Példa exponenciális függvényekre
4. ábra
Két függvény kombinációja. A
v( t )=M e λ t cos( ω t+φ ) (6)
alakú függvény csökkenő amplitúdójú szinuszos rezgést ( λ<0 ), vagy egy minden határon túl növekvő amplitúdójú ( λ>0 ) szinuszos rezgést ír le.
Az 5. ábra példaként egy exponenciális csökkenő amplitúdójú szinuszos rezgés időfüggvényét mutatja. Így alakul például egy rugóra akasztott test kitérése az idő függvényében.
Példa exponenciálisan csökkenő amplitúdójú szinuszos függvényre
5. ábra
2. A derivált függvény
Jegyezze fel az itt közölt függvények deriváltját! Tanulja meg a definíciókat!
Az (1) függvény ún. differenciahányadosa, amiből a derivált fogalma bevezethető, a következőképp definiálható. A 6. ábra mutatja a részleteket. A t 1 helyen a függvény értéke y 1 =y( t 1 ) , a t 2 = t 1 +Δ t helyen pedig y 2 =y( t 1 +Δ t ) . A függvény értéke Δ y= y 2 − y 1 megváltozásának és a független változó Δ t megváltozásának a hányadosa a differenciahányados:
Δ y Δ t = y 2 − y 1 Δ t = y( t 1 +Δ t )−y( t 1 ) Δ t (7)
A differenciahányados és a derivált bevezetéséhez
6. ábra
Ez a differenciahányados a két kiválasztott pont között az iránytangens, ugyanis tg α pontosan a (7) hányados értékével egyezik meg. Ezt a t 1 helyen annál pontosabban tudjuk meghatározni, minél közelebb húzzuk a t 2 helyet, azaz ha a Δ t értékét minden határon túl nullára csökkentjük. Természetesen a (7) értéke is változik, amikor a Δ t értéke változik. A differenciahányados így bevezetett határértéke a derivált, vagy differenciálhányados:
lim⁡ Δ t→0 Δ y Δ t = lim⁡ Δ t→0 y( t 1 +Δ t )−y( t 1 ) Δ t = d y d t | t 1 (8)
Utóbbi jelölés azt jelenti, hogy a differenciálhányadost a t 1 helyen határoztuk meg. A t 1 helyen a függvény folytonos kell legyen, egyébként a derivált nem létezik. A derivált értéke pontról pontra változhat, így a derivált is függvénye a független változónak.
A derivált egy pontban úgy értelmezhető grafikusan, hogy a függvényhez érintőt húzunk a kiszemelt pontban, s a derivált értéke pontosan az érintő egyenes meredeksége.
A különböző függvényekhez a matematikával foglalkozók a (7) által definiált hányados (8)-ban bevezetett határértékét, azaz a deriváltat meghatározták, amelyek táblázatok formájában a matematikakönyvekben fellelhetők. Az 1. pontban bemutatott néhány függvény deriváltja az alábbi:
Elsőfokú függvény: y( t )=m t+b , y'=m . A derivált tehát konstans, ami az egyenes meredeksége. Szinuszos függvény: x( t )=X sin( ω t+φ ) , x'( t )=ω X cos( ω t+φ ) . Láthatóan a szinuszfüggvény deriváltja koszinuszfüggvény, s ez fordítva is igaz, l. következő pont. Koszinuszos függvény: x( t )=X cos( ω t+φ ) , x ′ ( t )=−ω X sin( ω t+φ ) . Exponenciális függvény: u( t )=M e λ t , u'( t )=λ M e λ t .
Az utolsó három esetben a láncszabályt, azaz a belső függvény deriváltját is alkalmazni kell!
3. Az integrál
Jegyezze fel az itt közölt függvények integrálját! Tanulja meg a definíciókat!
Előtanulmányainkból ismert, hogy minden műveletnek megvan a párja: az összeadásnak a kivonás, a szorzásnak az osztás, a hatványozásnak a gyökvonás stb. A differenciálszámítás párja az integrálás művelete. Ekkor az f'( t ) függvényhez keressük azt az f( t ) függvényt, amelynek deriváltja pontosan f'( t ) .
Ebben a tananyagban az integrálás inkább formális művelet, egy-egy fogalmat definiál, s számításokban nem fogjuk használni. Igyekeztünk úgy összeállítani az anyagot, ismerve az előtanulmányi követelményeket, hogy abban az integrálás kevésbé legyen hangsúlyos.
Az integrál fogalmát azonban grafikusan megadjuk (lásd 7. ábra). Valamely f( t ) függvény integrálja az a terület, amelyet a függvény és a t tengely felölel két érték (itt a és b) között.
A határozott integrál bevezetéséhez
7. ábra
Ennek jelölése a következő:
F= ∫ a b f( t )d t (9)
A különböző függvényekhez a matematikával foglalkozók az ún. primitív függvényeket meghatározták, amelyek táblázatok formájában a matematikai könyvekben fellelhetők. Ezek levezetése az analízis feladata, amivel e tananyag keretében nem foglalkozunk.
4. Komplex számok
Jegyezze fel az itt közölt definíciókat és összefüggéseket!
Szinuszos jellegű rezgések leírására kiválóan alkalmazható a komplex számokon alapuló szimbolikus leírás, emiatt a komplex számokról röviden meg kell emlékezzünk. Egy komplex szám a 8. ábrán látható módon a komplex számsíkon ábrázolható.
A komplex szám ábrázolása
8. ábra
A vízszintes tengelyt valós (reális) tengelynek, a függőleges tengelyt képzetes (imaginárius) tengelynek nevezzük.
Egy komplex számnak három alakja van:
Algebrai alak. Egy komplex számnak valós (reális) része és imaginárius (képzetes) része van, ami a következő algebrai alakban írható fel:
z ¯ =a+j b (10)
ahol a a komplex szám valós része, jelölése: a=ℛ e{ z ¯ } , b pedig a komplex szám képzetes része, b=ℐ m{ z ¯ } . A valós tengelyre az imaginárius tengely merőleges, utóbbi irányába a j= −1 egységvektor mutat.
Trigonometrikus alak. A (10) a 8. ábrán könnyen követhető módon felírható a következő alakban is:
z ¯ =r( cos φ+jsin φ ) (11)
azaz a=r cos φ , és b=r sin φ , továbbá r= a 2 + b 2 a komplex vektor hossza (a komplex szám abszolút értéke), illetve φ = atan b/a a komplex vektor (a komplex szám) szöge.
A trigonometrikus alak átjárást biztosít az algebrai alak és a következő, ún. Euler-alak között.
Euler-alak. Sok esetben a
z ¯ =r e j φ (12)
Euler-alak előnyösen alkalmazható.
Komplex számok összeadása és kivonása könnyen elvégezhető a (10) algebrai alakban,
z ¯ 1 ± z ¯ 2 =( a 1 ± a 2 )+j( b 1 ± b 2 ) (13)
azaz az összeadandó, vagy kivonandó komplex számok valós részei és képzetes részei külön-külön összeadódnak, vagy kivonódnak, s így áll elő az összeg, vagy különbség valós és képzetes része.
Komplex számok szorzása és osztása legegyszerűbben a (12) Euler-alakkal végezhető el,
z ¯ 1 ⋅ z ¯ 2 =( r 1 e j φ 1 )( r 2 e j φ 2 )= r 1 r 2 e j( φ 1 + φ 2 ) , (14)
azaz a szorzat eredményeképp kapott komplex szám abszolút értéke a két komplex szám abszolút értékeinek szorzata, a szorzat szöge pedig a két komplex szám szögeinek összege, illetve
z ¯ 1 z ¯ 2 = r 1 e j φ 1 r 2 e j φ 2 = r 1 r 2 e j( φ 1 − φ 2 ) (15)
azaz az osztás eredményeképp kapott komplex szám abszolút értéke a két komplex szám abszolút értékeinek hányadosa, szöge pedig a két komplex szám szögeinek különbsége. A szorzás és osztás természetesen elvégezhető algebrai alakban is, ezzel azonban nem foglalkozunk, mert az Euler-alakot pontosan a műveletek elvégzésének egyszerűsítésére vezettük be.
5. Illusztratív példák
Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatokat! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatokat!
Írja fel az alábbi függvény egyenletét (9. ábra)!
A komplex szám ábrázolása
9. ábra
Az egyenes egyenletének felírásához két pontra van szükség az egyenesen. Ezek rendelkezésre állnak, például: t=0 , y=4 , illetve t=5 , y=2 ((0;4) és (5;2)). Helyettesítsük ezeket a (2) egyenletbe:
4=m 0+b ,
2=m 5+b .
Így egy kétismeretlenes egyenletrendszert kapunk, aminek megoldása: b=4 , és m=−0,4 , azaz y( t )=−0,4 t+4 .
Végezze el a (6) függvény deriválását!
A v( t )=M e λ t cos( ω t+φ ) függvény két függvény szorzatából tevődik össze. A szorzatfüggvény deriválási szabálya a következő:
( a b ) ' = a ′ b+a b' (16)
ahol a=M e λ t , s így a"=λ M e λ t , illetve b=cos( ω t+φ ) , s így b ′ =−ω sin( ω t+φ ) , azaz
v ′ ( t )=λ M e λ t cos( ω t+φ )−ω M e λ t sin( ω t+φ )
Végezze el az alábbi két komplex szám között az alábbi műveleteket:
z ¯ 1 +2 z ¯ 2 , z ¯ 1 z ¯ 2 , z ¯ 1 ⋅ z ¯ 2 !
z ¯ 1 =2+j 5 , és z ¯ 2 =−2+j 2
A z ¯ 1 +2 z ¯ 2 művelet az algebrai alak szerint egyszerű:
z ¯ 1 +2 z ¯ 2 =( 2+j 5 )+2( −2+j 2 )=−2+j 9
Az osztás és a szorzás Euler-alakban végezhető el egyszerűen, az Euler-alak - a részleteit is kiírva - a két esetben az alábbi:
r 1 =| z ¯ 1 |= 2 2 + 5 2 =5,39 , φ 1 =atan 5 2 = 68,2 ° , z ¯ 1 =5,39 e j 68,2 °
illetve
r 2 =| z ¯ 2 |= ( −2 ) 2 + 2 2 =2,83 , φ 2 = 180 ° −atan 2 2 = 135 ° , z ¯ 2 =2,83 e j 135 °
Az osztás a következőképp végezhető el:
z ¯ 1 z ¯ 2 = 5,39 e j 68,2 ° 2,83 e j 135 ° =1,9 e −j 66,8 ° =0,75−j 1,75
A szorzás pedig a következő módon:
z ¯ 1 ⋅ z ¯ 2 =5,39 e j 68,2 ° ⋅2,83 e j 135 ° =15,25 e −j 156,8 °
Célszerű a komplex szám szögét a [ − 180 ° ,⋯ ,180 ° ] intervallumban felírni, oda átszámítani.

| Önellenőrző kérdések
Mi a függvény?
Hogy adhatunk meg függvényeket?
Mi a függvény deriváltja?
Definiálja a határozott integrál fogalmát!
Definiálja a komplex szám fogalmát!
Hogyan lehet egy komplex számot megadni?