KURZUS: Irányítástechnika

MODUL: Jelek és rendszerek

2.2. lecke: Rendszerek

| Cél: A lecke célja, hogy a hallgató megismerje azon alapvető rendszerelméleti fogalmakat és összefüggéseket, amelyek az irányítástechnika megértéséhez szükségesek.
Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes
definiálni a rendszer fogalmát, s azok típusait, jellemzőit, a folytonos idejű rendszer időtartománybeli analízisére a konvolúció és az állapotváltozós leírás segítségével, értelmezni az átviteli karakterisztikát, Bode-féle törtvonalas közelítéssel felvázolni egyszerűbb átviteli karakterisztikákat, alkalmazni a Laplace-transzformációt.
Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 420 percre lesz szüksége.
Kulcsfogalmak
rendszerek, vizsgálójelek (egységugrásjel, Dirac-impulzus, szinuszos jel), ugrásválasz, impulzusválasz, konvolúció, állapotváltozós leírás, átviteli karakterisztika, Nyquist-diagram, Bode-diagram, átviteli függvény, Laplace-transzformáció.
1. Rendszerek
Jegyzetfüzetébe foglalja össze a rendszerekkel kapcsolatos alábbi fogalmakat!
A modell egy fizikai objektum valamilyen leírása, melynek segítségével modellezhetjük, matematikailag reprezentálhatjuk annak működését. A rendszer egymással kapcsolatban lévő egységek összessége, ebben a tananyagban rendszer alatt a szabályozandó folyamatot, a szabályozó berendezést, s ezek együttesét is érthetjük. A modell lényege, hogy matematikai formába öntsük azt a bonyolult folyamatot, amelynek szimulációját el szeretnénk végezni (például egy rendszer működését) annak érdekében, hogy megbizonyosodjunk az objektum tulajdonságairól, megtudjuk, hogy az hogyan fog viselkedni, ha valamilyen hatás éri. Ezek a külső hatások a rendszer bemenetei, másnéven gerjesztések, s a rendszer ezen gerjesztésekre válaszokkal reagál, melyek a rendszer kimenetei. Az előző részben tárgyalt jelek tehát akár a rendszer bemenetei és kimenetei is lehetnek.
A továbbiakban olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen bemenetük és egyetlen kimenetük van. Ezeket SISO-rendszereknek is nevezzük (single input single output). MIMO (multiple input multiple output), azaz több bemenetű és több kimenetű rendszerekkel az egyszerűség kedvéért nem foglalkozunk. Léteznek még SIMO- és MISO-rendszerek.
A tananyagban csak lineáris, időinvariáns és kauzális rendszerekkel foglalkozunk, és feltételezzük, hogy a rendszer modellje valamilyen formában, ún. rendszerjellemző függvényként ismert.
Az 1. modul 1. leckéjében a szabályozót és a szakaszt egy-egy dobozzal szimbolizáltuk, a rendszert a továbbiakban is ezzel a szimbólummal fogjuk jelölni. A bemeneti jelet u( t ) -vel, a kimeneti jelet pedig y( t ) -vel fogjuk jelölni.
Lineáris egy rendszer, ha a gerjesztés-válasz kapcsolatát reprezentáló rendszerjellemző függvény lineáris, azaz érvényes rá a szuperpozíció elve: ha például a rendszer az u 1 ( t ) bemeneti jelre az y 1 ( t ) válasszal felel, az u 2 ( t ) bemeneti jelre pedig az y 2 ( t ) jellel, akkor lineáris rendszer esetén igaz, hogy a c 1 u 1 ( t )+ c 2 u 2 ( t ) bemeneti jelre a válasz c 1 y 1 ( t )+ c 2 y 2 ( t ) lesz. Ha ez nem teljesül, akkor a rendszer nemlineáris.
Időinvaráns egy rendszer, ha a gerjesztés időbeli eltolása azt eredményezi, hogy a válaszban csak egy ugyanekkora időbeli eltolódás következik be (1. ábra). Más szavakkal: a bemenőjelre adott válasz nem függ a bemenőjel alkalmazásának időpontjától. Az időinvariancia tehát azt jelenti, hogy a rendszer nem időfüggő. Ha például a rendszer az u( t ) bemeneti jelre az y( t ) válasszal felel, akkor az invariáns rendszer az u( t−τ ) bemeneti jelre y( t−τ ) jellel felel. Ellenkező esetben a rendszer variáns, azaz időfüggő.
Az időinvariancia illusztrálása
1. ábra
Kauzális egy rendszer, ha a válaszjel adott időpontbeli értéke csak a gerjesztés ezen időpontot legfeljebb megelőző, múltbéli értékeitől, illetve a válaszjel ezen időpontot megelőző értékeitől függ. Kauzális rendszer esetén belépő gerjesztéshez belépő válasz tartozik, azaz, ha a gerjesztés a t<0 időpillanatokban zérus értékű, akkor a válasz is zérus ezen időpillanatokban. A kauzális rendszer kimenete és bemenete között ok-okozati kapcsolat van. A nem kauzális rendszert akauzálisnak is nevezzük.
A tananyagban csak lineáris, időinvariáns és kauzális rendszerekkel foglalkozunk.
2. A rendszerjellemző függvények összefoglalása
Jegyezze fel a rendszerjellemző függvényeket, vázolja fel az egyes rendszerjellemző függvények kapcsolatát!
Ebben a részben összefoglaljuk azon rendszerjellemző függvényeket, amelyek a rendszerek matematikai leírására szolgálnak.
A rendszerjellemző függvények természetszerűleg a vizsgált, leírandó tag fizikai adottságaitól függenek. Sok esetben ez differenciálegyenlet formájában áll elő, ami megadja a tag kimenő és bemenő jeleinek időbeli viselkedését, illetve azok kapcsolatát. A tagok számának, a szabályozási kör bonyolultságának növekedtével a differenciálegyenletek megoldása egyre nehezebb és nehezebb lesz. Ez vezetett el olyan matematikai technikák kidolgozásához, amelyek jelentősen egyszerűsítik a megoldás menetét, s kevesebb matematikai felkészültséget is igényelnek. Egyik ilyen módszer a frekvenciatartománybeli vizsgálatok módszere, amelyet mi is alkalmazni fogunk.
Nagyon érdekes, hogy a legkülönfélébb szakterületekről származó problémák ugyanazon típusú differenciálegyenletekre vezetnek, emiatt tárgyalásunk a lehető legáltalánosabb lehet.
A rendszerjellemző függvény olyan matematikai formula, amelyet viszonylag egyszerűen lehet identifikálni a rendszeren végzett egyszerű mérések alapján, s alkalmas a válaszjel számítására tetszőleges bemenőjel esetén. Matematikailag tehát egyértelműen megadja, modellezi a valódi rendszer működését.
A következő rendszerjellemző függvényeket soroljuk fel:
A v( t ) -vel jelölt ugrásválasz (átmeneti függvény) az egységugrásjelre adott válasz. Ezt nagyon egyszerű mérni, s szoros kapcsolatban van a w( t ) -vel jelölt impulzusválasszal (súlyfüggvény), ami rendszerelméleti szempontból rendkívül lényeges. Az impulzusválasz a Dirac-delta jelre adott válasz, aminek mérése nehéz, de w( t )=v'( t ) , így az ugrásválasz alapján könnyen elő lehet állítani. A rendszeregyenlet egy n-edrendű, közönséges, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenlet. Az állapotváltozós leírás pedig n számú elsőrendű, közönséges, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletből álló differenciálegyenlet-rendszer. A rendszeregyenlet és az állapotváltozós leírás egymásba alakítható. Szinuszos gerjesztésre adott állandósult szinuszos válasz számítására a W( j ω ) átviteli karakterisztika szolgál. Az átviteli karakterisztika bonyolultabb periodikus jelekre adott válasz számítására is alkalmas a Fourier-sor alkalmazásával, sőt, a Fourier-transzformáció bevezetésével általánosabb jelek vizsgálatára és spektrális jellemzők meghatározására is használható. Egyszerű kapcsolat áll fenn az átviteli karakterisztika, valamint a rendszeregyenlet, illetve az állapotváltozós leírás között, így azok egymásba könnyedén átalakíthatók. A Fourier-sorral és transzformációval a jelen tananyagban nem foglalkozunk, emiatt nem is boncoljuk tovább. A később tárgyalandó Laplace-transzformáció segítségével lehet előállítani a W( s ) átviteli függvényt, ami nagy mértékben megkönnyíti a számításokat. Az átviteli függvény az impulzusválasz Laplace-transzformáltja, kauzális és stabil rendszer esetében pedig s=j ω helyettesítéssel az átviteli karakterisztika és az átviteli függvény egymásba alakítható. Egyszerű kapcsolat áll fenn az átviteli függvény, valamint a rendszeregyenlet, illetve az állapotváltozós leírás között, így azok egymásba könnyedén átalakíthatók.
A következőkben megfogalmazzuk az általános összefüggéseket, de mindenütt bemutatjuk a lehető legegyszerűbb formulákat.
A tárgy keretében csak a legegyszerűbb formulákkal fogunk számításokat végezni.
3. Folytonos idejű rendszerek időtartománybeli analízise
Jegyezze fel ismét a rendszerjellemző függvényeket, gyűjtse össze az időtartományban használatos rendszerjellemző függvények definícióját, matematikai formuláját, s hogy velük miként lehet a válaszjelet meghatározni!
Az ugrásválasz
Az ugrásválasz (átmeneti függvény) az egységugrásjelre adott válasz, azaz ha a rendszer bemeneti jele speciálisan az 1( t ) jel, akkor a kimeneti jel a v( t ) -vel jelölt ugrásválasz (2. ábra). Ennek mérése általában egyszerű, emiatt is fontos az ugrásválasz ismerete.
A rendszer ugrásválaszának definiálása
2. ábra
A teljesség kedvéért elmondjuk, hogy amennyiben az ugrásválaszt ismerjük, akkor a rendszer tetszőleges u( t ) bemenőjelre adott y( t ) válasza számítható a következő integrál kiértékelésével:
y( t )= ∫ −∞ ∞ u( τ ) d v( t−τ ) d t d τ (1)
Sok esetben azonban a gerjesztőjel belépő, kauzális rendszer ugrásválasza pedig a kauzalitás definíciója értelmében mindig belépő. Ilyen esetben az (1) integrál a következőképp alakul:
y( t )= ∫ 0 t u( τ ) d v( t−τ ) d t d τ (2)
Megjegyezzük, hogy a válaszjel integrálszámítás nélkül is elvégezhető a Laplace-transzformáció segítségével, a tananyagban kerülni fogjuk (1) vagy (2) alkalmazását, de elvi jelentőségüket hangsúlyozni szeretnénk (ezeket Duhamel-tételnek nevezzük).
Az egyik legegyszerűbb, de tipikus esetben az ugrásválasz alakja a következő ( λ>0 ):
v( t )=1( t )K( 1− e −λ t ) (3)
A 3. ábra a v( t )=1( t ) 2( 1− e −1 t ) függvény időbeli alakulását mutatja, a függvény a t<0 időpillanatokban zérus, kauzális rendszer ugrásválasza ugyanis belépő függvény. A függvény a t=0 időpillanatban nulla, majd exponenciális függvény szerint az ún. állandósult (stacionárius) állapothoz tart, aminek értéke K=2. Az exponenciális jellegű átmenetet tranziensnek (átmeneti folyamat) nevezzük.
Példa az ugrásválasz időbeli lefutására
3. ábra
Tulajdonképpen nagy sokféle folyamat zajlik a 3. ábrán felvázolthoz hasonló módon. A sör például ilyen exponenciális időfüggvény szerint melegszik fel, ha az asztalon hagyjuk, de a meleg tea is exponenciális függvényt követve hűl ki. Így töltődik fel és sül ki egy kondenzátor az elektronikai berendezésekben stb.
Az impulzusválasz
Az impulzusválasz (súlyfüggvény) a Dirac-delta jelre adott válasz (4. ábra), azaz ha a rendszer bemeneti jele speciálisan a δ( t ) jel, akkor a kimeneti jel a w( t ) impulzusválasz. Ennek mérése a Dirac-delta jel előállítása miatt általában nehézkes, de az ugrásválasz ismeretében az impulzusválasz meghatározható annak általánosított deriváltjaként, azaz
w( t )=v"( t ) (4)
A rendszer impulzusválaszának definiálása
4. ábra
Határozzuk meg gyakorlásképp a (3) függvény általánosított deriváltját:
w( t )= v ′ ( t )=δ( t )K( 1− e −λ t )+1( t ) λ K e −λ t =1( t ) λ K e −λ t
Az első tag nulla, hiszen a zárójeles kifejezést a 0 időpillanatban ki kell számolni, így adódik egy exponenciálisan csökkenő függvény, ami az impulzusválasz tipikus alakja. Az impulzusválasz előállítása az ugrásválasz ismeretében tehát valóban egyszerű feladatnak mondható.
Ha az impulzusválaszt ismerjük, akkor a rendszer tetszőleges u( t ) bemenőjelre adott y( t ) válasza számítható a súlyfüggvény-tétel alkalmazásával, amit konvolúciónak is hívunk:
y( t )= ∫ −∞ ∞ u( τ )w( t−τ )d τ (5)
Sok esetben a gerjesztés belépő függvény, ami azt jelenti, hogy a t<0 időpillanatokra a jel értéke nulla. Az impulzusválasz kauzális rendszerek esetén belépő függvény! Belépő gerjesztés és kauzális rendszer esetében a válaszjel is belépő, s a következőképp számítható:
y( t )= ∫ 0 t u( τ )w( t−τ )d τ (6)
az integrálási határok tehát megváltoztak.
Megjegyezzük, hogy a válaszjel integrálszámítás nélkül is elvégezhető a Laplace-transzformáció segítségével. A tananyagban igyekszünk a matematikailag egyszerűbb utat követni, de a lényeges elméleti pontokat nem hagyhatjuk el.
Ahogy arra utaltunk, a legegyszerűbb esetben az impulzusválasz alakja a következő:
w( t )=1( t )M e −λ t (7)
Az 5. ábra a w( t )=1( t ) 4 e −2 t függvény időbeli alakulását mutatja, a függvény a t<0 időpillanatokban zérus.
Példa az impulzusválasz időbeli lefutására
5. ábra
Az impulzusválasz és a stabilitás
Az impulzusválasz a rendszer ún. gerjesztés-válasz stabilitásának eldöntésére is szolgál. Egy rendszer gerjesztés-válasz stabil, ha korlátos gerjesztésre korlátos választ ad. Ennek vizsgálata a definíció szerint nehéz, az impulzusválasz ismerete azonban egyszerűsíti a vizsgálatot: a folytonos idejű, lineáris, invariáns és kauzális rendszer akkor és csakis akkor gerjesztés-válasz stabilis, ha impulzusválasza abszolút integrálható, azaz ha
∫ −∞ ∞ | w( t ) |d t<∞ . (8)
Ez az integrál azt jelenti, hogy képezni kell az impulzusválasz időfüggvényének abszolút értékét, s meg kell vizsgálni, hogy az így előálló görbe alatti terület véges vagy sem. Az 5. ábrán látható impulzusválasz időfüggvényének görbe alatti területe szemmel láthatóan véges.
A (8) feltétel a mi esetünkben tovább egyszerűsíthető, ugyanis elégséges feltétel, ha az impulzusválasz stacionárius állapotban nullához tart, azaz lecsengő jellegű.
Felhívjuk a figyelmet, hogy az impulzusválasz az 5. ábrán látható módon e λ t alakú exponenciális függvényekből áll, a fenti feltétel vizsgálata tehát egyszerű feladat az exponenciális függvény kitevőjében szereplő λ szám előjelének vizsgálatával. Ha λ negatív, úgy az impulzusválasz nullához tart, azaz a rendszer gerjesztés-válasz stabil, ellenkező esetben nem az.
Korlátos a gerjesztés, ha az időfüggvény nem lép túl egy korlátot. Ilyen például az egységugrásjel, a szinuszos jel, a periodikus jelek, de nem korlátos az 1( t )t jel, mert az minden határon túl nő, amennyiben az idő telik.
A rendszer stabilitását más úton is el lehet dönteni, ahogy arról lentebb szólni fogunk.
A rendszeregyenlet
A rendszeregyenletet a teljesség kedvéért említjük.
A rendszeregyenlet definíció szerint a következő differenciálegyenlet ( n≥m ):
y ( n ) ( t )+ ∑ i=1 n a i y ( n−i ) ( t )= ∑ i=0 m b i u ( m−i ) ( t ) (9)
Ez egy n-edrendű, közönséges, állandó együtthatós, inhomogén, lineáris differenciálegyenlet, aminek megoldása szolgáltatja a rendszer y( t ) válaszjelét az u( t ) bemenőjelre. Az y ( n ) ( t ) az y( t ) változó idő szerinti n-edik deriváltját jelöli. A differenciálegyenlet közönséges, mert csupán a t változó szerinti deriváltakat tartalmazza (egyváltozós függvények esetében csak közönséges differenciálegyenlet adódhat, többváltozós függvények esetében beszélünk parciális differenciálegyenletekről). Az a i és b i együtthatók az általunk vizsgált időinvariáns rendszerek esetében konstans, állandó értékek. Ha a jobboldal zérustól különböző, akkor beszélünk inhomogén egyenletről, ellenkező esetben az egyenlet homogén. A differenciálegyenlet lineáris, mert sem a gerjesztőjel és annak deriváltjai, illetve sem a válaszjel és annak deriváltjai nem helyezkednek el valamilyen nemlineáris függvény argumentumában (nem emeljük például négyzetre), hiszen a rendszer, amit vizsgálunk, az is lineáris.
Legegyszerűbb esetben a rendszeregyenlet a következőképp néz ki:
y ˙ ( t )+ a 1 y( t )= b 0 u( t )
vagy
y ˙ ( t )+ a 1 y( t )= b 0 u ˙ ( t )+ b 1 u( t ) (10)
Az idő szerinti deriváltat sokszor a változó fölé tett ponttal jelöljük.
A rendszeregyenlet időtartománybeli megoldása az összetevőkre bontás módszerével történik, ami sok esetben nagyon nehéz feladat, habár a módszer rendszerelméleti szempontból nagyon lényeges.
Irányítástechnikában a rendszeregyenlet Laplace-transzformáltját állítjuk elő, miáltal a megoldás menete jóval egyszerűbb.
Megjegyezzük, hogy a rendszeregyenlet átalakítható állapotváltozós leírássá, s fordítva.
Az állapotváltozós leírás
Az állapotváltozó a változók olyan minimális halmaza, amelyek a következő két tulajdonsággal rendelkeznek:
1. | Az állapotegyenlet ismeretében az állapotváltozóknak és a rendszer bemenőjelének a t 1 időpontbeli értékéből meghatározható az állapotváltozó t 2 > t 1 időpontbeli értéke, és
2. | ugyanezen t 1 időpontbeli adatok alapján meghatározható a rendszer válasza a t 1 időpillanatban.
Állapotváltozó a rendszer dinamikus tagjaihoz, az integráló típusú tagokhoz köthető.
Az állapotegyenlet egy differenciálegyenlet-rendszer, ami az állapotváltozók idő szerinti deriváltját (állapotsebesség) fejezi ki az állapotváltozókkal és a rendszer bemeneti jelével. A válaszjel ugyanezen változókkal kifejezhető. Az állapotváltozós leírás tehát az alábbi egyenletekből áll (hatásvázlata l. 6. ábra):
x ˙ =A x+b u, y= c T x+D u. (11)
Vastagon szedett álló betűkkel írjuk a mátrixokat és a vektorokat. Itt x az állapotvektor, ami n számú változót foglal magába, u a SISO rendszer egyetlen bemenete, y pedig a kimenet, A, b, c és D pedig a rendszertől függő állandókat tartalmazó mátrix, vektorok és skalár. Az A négyzetes (kvadratikus) mátrix neve állapotmátrix. A T betű a transzponáltra utal, c T tehát sorvektor.
A hatásvázlaton könnyen nyomon lehet követni a jelfolyam alakulását. Az integrátor (integráló tag) felel a dinamikus tulajdonságokért, azaz a tranziensek alakulásáért.
Lineáris, dinamikus rendszer állapotváltozós leírását szemléltető hatásvázlat
6. ábra
Legegyszerűbb esetben az állapotváltozós leírás például a következő alakot ölti:
x ˙ =A x+b u, y=c x+D u. (12)
Az A, b, c és D paraméterek tehát skalár értékűek, b, c és D lehet zérus is.
Az állapotegyenlet is megoldható az összetevőkre bontás módszerével, illetve mátrixfüggvények segítségével, de ezekkel a módszerekkel itt nem foglalkozunk. Irányítástechnikában az állapotváltozós leírás egyenleteinek Laplace-transzformáltját állítjuk elő, miáltal a megoldás menete jóval egyszerűbb.
Mind a négy időtartománybeli rendszerjellemző függvénynél említettük a Laplace-transzformációt. Ezzel a módszerrel lentebb ismerkedünk meg. A módszerről elöljáróban annyit kell tudni, hogy az időtartománybeli technikáknál használt (1), (2), illetve (5), (6) integrálás, valamint (9), vagy (10), illetve (11), vagy (12) egyenletek bonyolult megoldása helyett jóval egyszerűbb eljárást ad a kezünkbe, integrálást és differenciálegyenlet-megoldást nem igényel. Emiatt előszeretettel alkalmazzuk rendszerelméleti, illetve irányítástechnikai problémák megoldásában.
Az állapotváltozós leírás és a stabilitás
Az állapotváltozós leíráshoz kapcsolt stabilitásfogalom az aszimptotikus stabilitás, ami az állapotvektor stacionárius állapotbeli viselkedését vizsgálja Dirac-delta bemenőjel esetén. Ha
lim⁡ t→∞ x( t )=0 , (13)
azaz, ha az állapotvektor a nullvektorhoz tart, akkor a rendszer aszimptotikusan stabil.
A (11) és (12) egyenletek válaszjelre vonatkozó egyenletéből látható, hogy amennyiben (13) teljesül, úgy a Dirac-deltára adott y válaszjel is nullához tart. Ez pedig a gerjesztés-válasz stabil rendszer ismérve. Ha tehát egy rendszer aszimptotikusan stabil, akkor gerjesztés-válasz stabil is. Az állítás fordítottja nem biztos, hogy igaz! Ha a rendszer gerjesztés-válasz stabil, azaz a Dirac-delta bemenőjelre az y válaszjel nullához tart, (13)-nak nem kell feltétlenül teljesülnie, mert esetleg c nulla, vagy cT minden eleme nulla.
4. Folytonos idejű rendszerek frekvenciatartománybeli analízise
Jegyezze fel ismét a rendszerjellemző függvényeket, gyűjtse össze a frekvenciatartományban használatos rendszerjellemző függvények definícióját, matematikai formuláját, s hogy velük miként lehet a válaszjelet meghatározni! Jegyezze fel a Bode-diagram ábrázolásának lépéseit!
Szinuszos jel leírása komplex csúccsal
A szinuszos jel nagyon sok helyen előfordul, a 230V-os, 50Hz-es hálózati feszültség is szinuszos, a rádióhullámoknál, mobiltelefonok kommunikációjában is szinuszos jelek viszik az információt stb. Emiatt a szinuszos jelekkel történő számításra külön módszert dolgoztak ki, ami megkönnyíti a vele való számításokat. Ezt mutatjuk itt be.
Folytonos idejű szinuszos jel a következőképp adható meg:
u( t )=U cos( ω t+α ) , (14)
ahol U a jel csúcsértéke, az ω körfrekvencia kifejezhető az f frekvenciával és a T periódusidővel is, ω=2 π f= 2 π T , α pedig a kezdőfázis, végül t az idő. Ezen adatok láthatók a 7. ábrán.
Szinuszos jel jellemző adatai
7. ábra
Szinuszos jelekkel történő számításokra kidolgozták a komplex számokkal történő leírást, a (14) jel az u ¯ ( t )=U e j( ω t+α ) Euler-alakban felírt ún. komplex pillanatértéknek pontosan a valós része,
u( t )=ℛ e{ u ¯ ( t ) }=ℛ e{ U e j( ω t+α ) }=ℛ e{ U cos⁡( ω t+α )+j U sin⁡( ω t+α ) } . (15)
A komplex pillanatértékben az e j ω t egy egységnyi hosszúságú, az időtől függő forgó komplex vektor (amit fazornak is hívunk), az U e j( ω t+α ) pedig hordozza a csúcsérték és a kezdőfázis információkat is, utóbbi forgását a 8. ábrán részletesen megmutatjuk. A komplex pillanatérték ω körfrekvenciával forog a komplex számsíkon az óramutató járásával ellentétes irányban, valós tengelyre vett vetülete egy koszinuszos időfüggvényt, imaginárius tengelyre vett vetülete pedig szinuszos időfüggvényt ír le. A könnyebb nyomon követhetőség érdekében négy pontot bejelöltünk a komplex számsíkon, illetve a valós időfüggvényeken is.
Szinuszos jelek leírására használhatjuk a komplex pillanatérték valós részét, de akár a képzetes részét is. Magyarországon a valós rész alkalmazása terjedt el, külföldi irodalomban találkozhatunk az imaginárius rész alkalmazásával is.
Nagyon lényeges, hogy lineáris rendszerek esetén a bemeneti jel körfrekvenciája szerint rezeg valamennyi változó, a csúcsérték és a kezdőfázis pedig megváltozhat. Lineáris rendszer egyetlen tagjának karakterisztikája sem hat a körfrekvenciára, az nem változik meg.
Elegendő tehát a csúcsértéket és a kezdőfázist hordozó ún. komplex csúcsértékkel leírni a szinuszos jelet,
U ¯ =U e j α . (16)
A komplex pillanatérték és a szinuszos jel összerendelése
8. ábra
Illusztratív példa
Példaként írjuk fel az u( t )=2 cos( 5 t+π/3 ) szinuszos jelnek megfelelő komplex csúcsértéket.
A jel csúcsértéke 2, kezdőfázisa pedig π/3 , így U ¯ =2 e j π/3 . A jel körfrekvenciája 5, amivel a komplex csúcsban nem kell foglalkozni.
Ha a jelet szinusz függvény írja le, akkor azt át kell írni koszinusz függvényre, például:
u( t )=2 sin⁡( 5 t+ π 3 )=2 cos⁡( 5 t+ π 3 − π 2 ) ,
azaz a koszinusz függvényt el kell tolni π/2 -vel. Utóbbi időfüggvényhez az U ¯ =2 e −j π/6 komplex csúcsérték tartozik.
A válaszjel jellege
A továbbiak követése és megértése érdekében egy rövid kitérőt teszünk a válaszjel időfüggvényét illetően. Egy lineáris rendszer válaszjele mindig két összetevőből áll: egy ún. tranziens (átmeneti) összetevőből és egy ún. stacionárius (állandósult) összetevőből,
y( t )= y tr ( t )+ y st ( t ) . (17)
Előbbi mindig exponenciális függvényekből áll, például y tr ( t )=M e λ t , utóbbi jellege pedig megegyezik a gerjesztés időfüggvényének jellegével, jelen esetben a szinuszos időfüggvénnyel. A tranziens gerjesztés-válasz stabil rendszer esetén lecsengő jellegű (a λ ún. sajátérték negatív), nem stabil rendszer esetén viszont minden határon túl nő, mert a λ sajátérték pozitív. Ha a stabil rendszer tranziense lecseng, a válaszjel a stacionárius komponenshez konvergál. Ha a gerjesztés szinuszos és a rendszer gerjesztés-válasz stabil, akkor egy idő után a válaszjel is szinuszos lesz, amelynek körfrekvenciája megegyezik a gerjesztés körfrekvenciájával, de csúcsértéke és fázisa eltérhet a gerjesztés csúcsértékétől és fázisától.
Ezután térjünk vissza a konkrét gerjesztés részletes vizsgálatához. Ha egy lineáris rendszer bemeneti jele szinuszos, akkor a tranziensek lezajlása után (!) az állandósult válasz is szinuszos időbeli lefutású lesz a gerjesztőjel ω körfrekvenciájával megegyező körfrekvenciával:
u( t )=U cos( ω t+α ) ⇒ y( t )=Y cos( ω t+φ ) . (18)
A komplex csúcsokkal való számolás ezt használja ki, de csak a stacionárius komponenst kapjuk meg, azt viszont nagyon egyszerűen, differenciálás vagy integrálás nélkül, habár komplex számokkal kell dolgoznunk. Ez nagy előny, de tudnunk kell, hogy a módszerrel kapott stacionárius válasznak csak gerjesztés-válasz stabil rendszer esetén van értelme, a válaszjel ugyanis csak ekkor bír fizikai tartalommal, ugyanakkor differenciálegyenlet megoldásával, vagy integrálással nem kell foglalkoznunk. Gerjesztés-válasz stabil rendszer esetén a tranziens lecseng, s csak a stacionárius komponens szerint változik a kimenet. A komplex csúcsok módszerével történő számítások előtt meg kell győződni arról, hogy a rendszer gerjesztés-válasz stabil vagy sem. Utóbbi esetben tehát nincs értelme a számításokat folytatni. Kapunk ugyan szinuszos stacionárius választ eredményül, de az egy minden határon túl növekvő exponenciális jelre ül rá, következésképp a válaszjel is a végtelenhez tart. Ekkor mondjuk például, hogy a rendszer begerjed.
Általános esetben tehát a válaszjel mindig tartalmaz egy exponenciális időfüggvény szerint alakuló tranziens komponenst, és egy állandósult tagot, például
y( t )=M e λ t +Y cos( ω t+φ ) . (19)
Ez legyen mindig szem előtt. Az első komponens stabil rendszer esetén idővel eltűnik, a rendszer kimenetén a második komponens lesz mérhető, s mi most az utóbbira koncentrálunk, arra adunk számítási módszert.
Az átviteli karakterisztika
Ha bevezetjük a W( j ω ) átviteli karakterisztikát a
W( j ω )= Y ¯ U ¯ (20)
definíciós összefüggésnek megfelelően, akkor a válaszjel komplex csúcsértéke egyszerűen, egy szorzással számítható:
Y ¯ =W( j ω ) U ¯ . (21)
Az átviteli karakterisztika (20) szerint tehát a válaszjel komplex csúcsértékének és a gerjesztés komplex csúcsértékének a hányadosa. A válaszjel csúcsértéke és fázisa a gerjesztés frekvenciájától függ, ahogy a gerjesztés frekvenciáját változtatjuk, úgy a dinamikus rendszer válaszjelének csúcsértéke és fázisa is változik, következésképp a (20) által definiált átviteli karakterisztika is frekvenciafüggő, ahogy azt az argumentumában jelöltük, ráadásul a körfrekvenciának komplex függvénye, hiszen körfrekvenciáról-körfrekvenciára két komplex szám hányadosaként kapjuk.
Az átviteli karakterisztika olyan rendszerjellemző függvény, amelyet szinuszos gerjesztést használva körfrekvenciáról-körfrekvenciára fel kell venni, miáltal a rendszer viselkedése - nevezetesen, hogy az milyen mértékben változtatja meg a bemeneti jel amplitúdóját és kezdőfázisát - minden körfrekvencián ismert egy komplex szám formájában.
Az Y ¯ =W( j ω ) U ¯ összefüggésben a W( j ω ) komplex változós függvényben az ω helyére a gerjesztőjel körfrekvenciáját kell behelyettesíteni, miáltal azt kapjuk meg, hogy a rendszer hogyan viselkedik a gerjesztés körfrekvenciáján. Az így nyert K e j φ alakú komplex szám K abszolút értéke azt mutatja meg, hogy hogyan változtatja meg a rendszer a bemenőjel U csúcsértékét, φ szöge pedig azt, hogy a rendszer hogyan módosítja a bemenőjel α fázisát. A válaszjel Y ¯ =Y e j φ komplex csúcsértéke tehát két komplex szám szorzataként áll elő:
Y ¯ =Y e j φ =K e j φ U e j α =K U e j( φ+α ) , (22)
azaz Y=K U , és φ=φ+α . Így a stacionárius válasz (18) időfüggvénye is felírható, s közben csak komplex számokkal végzett szorzást kellett végezni, deriválni, integrálni nem.
Illusztratív példa
Számoljuk ki az u( t )=2 cos( 5 t+π/3 ) szinuszos jelre adott szinuszos stacionárius választ, ha a gerjesztés-válasz stabil rendszer átviteli karakterisztikájának értéke az ω=5 körfrekvencián W ¯ =4 e j π/10 .
A számítás csupán két komplex szám összeszorzásából áll:
Y ¯ =4 e j π/10 2 e j π/3 =8 e j 13 π/30 ,
azaz a stacionárius válasz időfüggvénye:
y( t )=8 cos⁡( 5 t+ 13 π 30 ).
Az átviteli karakterisztika alakja és kapcsolata az időtartománybeli leírással
Az átviteli karakterisztika egy polinom per polinom alakú kifejezés, vagyis a j ω változó racionális törtfüggvénye valós együtthatókkal ( n≥m ):
W( j ω )= b 0 ( j ω ) m + b 1 ( j ω ) m−1 +…+ b m ( j ω ) n + a 1 ( j ω ) n−1 + a 2 ( j ω ) n−2 +…+ a n (23)
Az átviteli karakterisztika mérés útján felállítható, a (23)-ban szereplő a és b paraméterek értéke mérésekből kiszámítható. Ezt rendszeridentifikációnak nevezzük, ami túlmutat a jelen tananyag keretein, ezzel nem is foglalkozunk.
Az impulzusválasz, a rendszeregyenlet, valamint az állapotváltozós leírás és az átviteli karakterisztika között egyértelmű kapcsolat van, amelyeket azonban a következők három pontban megvizsgálunk.
a) Az impulzusválasz a következő integrál elvégzésével alakítható átviteli karakterisztikává:
W( j ω )=ℱ{ w( t ) }= ∫ −∞ ∞ w( t ) e −j ω t d t (24)
Ez az integrál az ún. Fourier-transzformált, amivel a továbbiakban nem foglalkozunk.
b) A (18) rendszeregyenlet a következő alakban írható fel a komplex írásmódban:
( j ω ) n Y ¯ + ∑ i=1 n a i ( j ω ) n−i Y ¯ = ∑ i=0 m b i ( j ω ) m−i U ¯ , (25)
ahonnan az átviteli karakterisztika könnyedén felírható a (23) alakban.
A fenti átalakítás mögött az áll, hogy az időtartományban végzett idő szerinti deriválás a komplex csúcsértékek világában a j ω változóval való szorzást jelenti. Ha tehát az y( t ) változó n-edik deriváltját képezzük az időfüggvények világában, akkor a komplex számítási módban a ( j ω ) n Y ¯ műveletet kell elvégezni, ami nyilvánvalóan sokkal egyszerűbb.
A (10) legegyszerűbb alakú rendszeregyenletek a következő átviteli karakterisztikáknak felelnek tehát meg:
W( j ω )= b 0 j ω+ a 1 ,
illetve
W( j ω )= j ω b 0 + b 1 j ω+ a 1 . (26)
c) A (11) állapotváltozós leírás differenciálegyenlet-rendszere és algebrai egyenlete a következő alakban írható fel komplex csúcsokat használva:
( j ω ) X ¯ =A X ¯ +b U, ¯ Y ¯ = c T X ¯ +D U, ¯ (27)
ahonnan
X ¯ = ( ( j ω )E−A ) −1 b U ¯ , (28)
illetve
Y ¯ =[ c T ( ( j ω )E−A ) −1 b+D ] U ¯ (29)
adódik. Itt E egy n×n méretű egységmátrix, a felső indexben szereplő -1 pedig az inverzmátrix képzésre utal.
Hangsúlyozzuk, hogy a transzformált egyenletek komplex algebrai egyenletek, s nem tartalmaznak differenciálegyenletet, így a megoldás menete nyilvánvalóan egyszerűbb. Utóbbi egyenletből az átviteli karakterisztika kifejezhető:
W( j ω )= Y ¯ U ¯ = c T ( ( j ω )E−A ) −1 b+D . (30)
Az átviteli karakterisztika a j ω komplex változó függvénye, s minden körfrekvencián más és más komplex értékű szám.
A (12) alakban felírt rendszer átviteli függvénye tehát a következő alakú:
W( j ω )= Y ¯ U ¯ = j ω D+( c b−A D ) j ω−A . (31)
Példát a lecke végén mutatunk.
Az átviteli karakterisztika ábrázolása
Az átviteli karakterisztika felírható Euler-alakban is:
W( j ω )=K( ω ) e j φ( ω ) , (32)
ahol K( ω ) és φ( ω ) az ún. amplitúdókarakterisztika és az ún. fáziskarakterisztika. Ezen függvények frekvenciafüggését hivatott ábrázolni a Nyquist-diagram és a Bode-diagram. Ebben a tananyagban főleg az utóbbival foglalkozunk.
A Nyquist-diagram a W( j ω ) komplex vektor végpontjának mozgását ábrázolja a komplex számsíkon, miközben a körfrekvencia a −∞<ω<∞ intervallumban változik. A vízszintes tengelyen az átviteli karakterisztika által egy konkrét körfrekvencián szolgáltatott komplex szám valós (reális) értékét, a függőleges tengelyen pedig a képzetes (imaginárius) értékét mérjük fel. Ezt több körfrekvencián megtesszük, majd ezen pontokat összekötjük. A diagram megrajzolása és alkalmazása nehézkes, mert nagyságrendekkel eltérő vektorokat kell azonos diagramban ábrázolni. Egy példát mutat a 9. ábra. A diagram a vízszintes tengelyre szimmetrikus, emiatt elég a 0<ω<∞ intervallumot ábrázolni. A diagram felrajzolásának technikájával a jelen tananyagban nem foglalkozunk.
Példa a Nyquist-diagramra
9. ábra
A Bode-diagram a 10. ábrán látható módon külön diagramban ábrázolja az amplitúdókarakterisztikát és a fáziskarakterisztikát. A vízszintes tengely a körfrekvenciának dedikált, amelyet logaritmikusan skálázunk, így nagyon széles frekvenciatartomány is ábrázolható egyetlen diagramban. A 10. ábrán például a 0,01-100 tartományban ábrázoltuk a karakterisztikákat, amihez a szokásos lineáris skálán nagyon nagyméretű papírra lenne szükség.
Logaritmikus skálázás esetén két egymást követő osztás között az arány 10, ami az ún. dekád, a vízszintes tengely tehát például a következőképp néz ki:
Egy dekádon belül a beosztás jellege a következőképp néz ki:
Az amplitúdókarakterisztika-diagram függőleges tengelyén a
K dB =20 lg K (33)
értéket mérjük fel, ami decibelben kifejezett szám.
A fáziskarakterisztika-diagram függőleges tengelyén pedig a φ( ω ) függvényt fokban, vagy radiánban.
Példa a Bode-diagramra
10. ábra
A 11. ábra nagyítva, részletesen mutatja a logaritmikus osztás jellegzetességeit.
A Bode-diagram azért is terjedt el, mert törtvonalas közelítő felvázolása aránylag egyszerű feladat. A felrajzoláshoz az átviteli karakterisztika (23) polinom per polinom alakú kifejezését gyöktényezős alakra kell hozni, amiből egyszerű átalakítással az ún. Bode-alak nyerhető. Ennek közelítő, törtvonalas ábrázolása már egyszerű feladat. A következőkben ezzel foglalkozunk.
Logaritmikus diagram (http://customgraph.com)
11. ábra
A tananyagban a lehető legegyszerűbb Bode-alakok ábrázolásával foglalkozunk.
Az átalakítás első lépésében az ún. gyöktényezős alakot kell felírni. A (23) polinom per polinom alakú kifejezésből a számláló gyökeinek és a nevező gyökeinek kiszámítása után juthatunk el az alábbi gyöktényezős alakra:
W( j ω )=K ( j ω− z 1 )( j ω− z 2 )…( j ω− z m ) ( j ω− p 1 )( j ω− p 2 )…( j ω− p n ) . (34)
A tananyagban feltételezzük, hogy a gyökök valósak. Gerjesztés-válasz stabil rendszer esetén a p i ( i=1,…,n ) gyökök mind negatívak, a z i ( i=1,…,m ) gyökökre nincs ilyen megkötés.
A gyöktényezős alakból jutunk el a könnyen ábrázolható normálalakhoz. Az egyes gyöktényezős kifejezések átalakíthatóak a következő módon, miáltal az egyes kifejezések Bode-féle normálalakját kapjuk. Például a nevezőben szereplő ( j ω−p ) tag Ω=−p (p<0) helyettesítéssel átírható a ( j ω+Ω ) alakra, amelyből Ω kiemelhető, Ω( 1+ j ω Ω ) . Ez utóbbi a Bode-alak. Ezt az átalakítást mindegyik gyöktényezőre el kell végezni. Így kapjuk a következő felírást:
W( j ω )=A ( ω 0 j ω ) r ( 1± j ω ω 1 )( 1± j ω ω 2 )… ( 1+ j ω Ω 1 )( 1+ j ω Ω 2 )… , (35)
ami a Bode-féle tagok szorzataként áll elő. Megjegyezzük, hogy az Ω i és ω i értékek pozitívak, amelyek a Bode-diagramban sarok-körfrekvenciákat jelölnek ki.
A (44) alakban felírt elsőfokú tényezőknek megfelelő amplitúdókarakterisztika-diagramok és fáziskarakterisztika-diagramok láthatók a 12. ábrán, részletezve:
Az A konstans frekvenciafüggetlen, amplitúdódiagramja következésképp vízszintes. Ha A>0 , akkor a fázisdiagram nulla, ellenkező esetben ± 180 o . Az ( ω 0 j ω ) r amplitúdódiagramja: K dB =20 r lg( ω 0 ω ) , ami az ω 0 helyen metszi a vízszintes tengelyt, meredeksége pedig a 12. ábrának megfelelően −20 r dekádonként. A fázisdiagram az 1 j =−j összefüggésnek megfelelően φ( ω )=−r 90 o . Az 1+ j ω Ω alaknak megfelelő törtvonalas közelítés töréspontja az Ω körfrekvencián van, ez alatt a közelítő egyenes vízszintes, felette pedig ±20 dB/dekád meredekségű. Ha a kifejezés a nevezőben van, akkor a karakterisztika "lefelé törik", ha a számlálóban, akkor "felfelé törik". A fázisdiagram az Ω körfrekvencián pontosan ± 45 o , 0,1 Ω körfrekvencián nullának vesszük, 10 Ω körfrekvencián pedig ± 90 o értékűnek. Ha a kifejezés a nevezőben van, vagy a számlálóban negatív előjellel, akkor a karakterisztika "lefelé törik", ha a számlálóban pozitív előjellel, akkor "felfelé".
Elsőfokú tényezők Bode-féle törtvonalas közelítése
12. ábra
Ezen egyszerű törtvonalas közelítő görbékre építve bonyolultabb átviteli karakterisztikák közelítő Bode-diagramja is gyorsan felvázolható, mivel az egyes részgörbéket a decibelskálán csak össze kell adni, ami a logaritmus szorzásra és osztásra vonatkozó azonosságai miatt lehetséges. Ezt részletezi a következő illusztratív példa.
Illusztratív példa
Legyen például:
W( j ω )= W 1 ( j ω ) W 2 ( j ω ) W 3 ( j ω ) ,
ahol W 1 ( j ω ) , W 2 ( j ω ) és W 3 ( j ω ) egy-egy alaptag átviteli karakterisztikáját jelöli a (35) formulának megfelelően átalakítva. Ha használjuk a (32) Euler-alakot, akkor a példa átírható:
W( j ω )= K 1 ( ω ) e j φ 1 ( ω ) K 2 ( ω ) e j φ 2 ( ω ) K 3 ( ω ) e j φ 3 ( ω ) = K 1 ( ω ) K 2 ( ω ) K 3 ( ω ) e j( φ 1 ( ω )+ φ 2 ( ω )− φ 3 ( ω ) )
Ha áttérünk a decibelskálára, akkor az amplitúdókarakterisztika (33) szerint a következő alakot ölti:
K dB ( ω )=20 lg K 1 ( ω ) K 2 ( ω ) K 3 ( ω ) =20 lg K 1 ( ω )+20 lg K 2 ( ω )−20 lg K 3 ( ω )
Az eredő Bode-féle amplitúdódiagram az egyes alaptagok amplitúdódiagramjainak az összege.
Az eredő Bode-féle fázisdiagram szintén az alaptagok fázisdiagramjainak az összege, ahogy az a jelen példában szereplő átviteli karakterisztika Euler-alakjából is kiolvasható:
φ( ω )= φ 1 ( ω )+ φ 2 ( ω )− φ 3 ( ω )
Megjegyezzük, hogy az egyes alaptagok diagramjait pontról-pontra mindig össze kell adni, hiszen a nevezőben szereplő alaptagoknál megjelenő negatív előjelet figyelembe vesszük, s ki is emeltük, ezért történik, hogy a számláló esetében felfelé törik a karakterisztika, nevező esetében pedig lefelé.
Legyen például W 1 ( j ω )=1,0 , W 2 ( j ω )=1+ j ω ω 1 és W 3 ( j ω )=1+ j ω ω 2 az alaptagok átviteli karakterisztikája, és ω 2 > ω 1 . A részeredmények vékony vonallal, és az eredő diagramok vastag vonallal rajzolva a 13. ábrán láthatók.
Az illusztrációban szereplő Bode-diagram
13. ábra
5. Folytonos idejű rendszerek analízise a komplex frekvenciatartományban
Jegyezze fel ismét a rendszerjellemző függvényeket, gyűjtse össze a komplex frekvenciatartományban használatos rendszerjellemző függvények definícióját, matematikai formuláját, s hogy velük miként lehet a válaszjelet meghatározni!
A komplex frekvenciatartományban történő számítás nagy mértékben megkönnyíti az ugrásválasszal, impulzusválasszal, vagy rendszeregyenlettel, állapotváltozós leírással történő számításokat. Előbbi két rendszerjellemző függvény alkalmazása integrálszámítást igényel, utóbbi két eset pedig differenciálegyenlet, illetve differenciálegyenlet-rendszer megoldását. Mindegyik bonyolult, időigényes eljárás. A Laplace-transzformáción alapuló ún. komplex frekvenciatartománybeli analízis nem igényel nagy matematikai felkészültséget, egyszerű formalizmusa ugyanakkor szolgáltatja a fenti feladatok megoldását.
A válasz számításának menete a következő:
A válaszjelet számíthatjuk tehát az időtartománybeli módszerek segítségével, amelyekről többször is megállapítottuk, hogy bonyolult eljárások. A transzformált rendszerjellemző függvények azonban egyszerű módszereket adnak kezünkbe. Az időtartománybeli rendszerjellemző függvényeket át kell alakítani a Laplace-transzformáció szabályai szerint, miáltal a megoldás egyszerűen elvégezhető. A transzformált tartományból az időtartománya való visszajutás szintén egyszerű szabályok alapján történik. Ezeket mutatjuk be a következőkben, illetve az illusztratív példákban.
A Laplace-transzformáció és néhány szabálya
Az f( t ) belépő időfüggvény Laplace-transzformáltja a következő integrál által definiált:
F( s )=ℒ{ f( t ) }= ∫ −0 ∞ f( t ) e −s t d t , (36)
ahol s=σ+j ω a komplex frekvencia, a Laplace-transzformált változója. A transzformált F(s) változót nagybetűvel írjuk. Az öt legtöbbször használt időfüggvényhez tartozó Laplace-transzformáltat levezetés nélkül az 1. táblázatban foglaltuk össze.
Öt függvény Laplace-transzformáltja
f( t ) | F( s )
δ( t ) | 1
1( t ) | 1 s
1( t )t | 1 s 2
K 1( t ) e −α t | K s+α
K 1( t )t e −α t | K ( s+α ) 2
1. táblázat
A továbbiakban négy lényeges szabályt fogalmazunk meg bizonyítás nélkül.
a) Az eltolási tétel kimondja, hogy amennyiben ismert az f( t ) belépőjel F( s ) Laplace-transzformáltja, akkor az eltolt f( t±τ ) jel Laplace-transzformáltja
ℒ{ f( t±τ ) }= e ±s τ F( s ) , (37)
azaz az időbeli eltolás a komplex frekvenciatartományban e ±s τ -val való szorzást jelent.
Például a h( t )=1( t )−1( t−τ ) ablakozó függvény Laplace-transzformáltja H( s )= 1 s − 1 s e −s τ . Az 1. táblázatból kiolvasható a Heaviside-függvény Laplace-transzformáltja: ℒ{ 1( t ) }= 1 s . Az ablakozó függvény második tagja az egységugrásjel eltoltja, rá tehát az eltolási tételt alkalmaztuk: ℒ{ 1( t ) } e −s τ = 1 s e −s τ . A Laplace-transzformáció a (36) szerinti integrál, azaz az egyes összeadandó, vagy kivonandó függvényeket külön-külön transzformálhatjuk, s a transzformáltak között ugyanúgy összeadás, vagy kivonás szerepel, mint az időfüggvényeknél.
b) A csillapítási tétel kimondja, hogy amennyiben ismert az f( t ) belépőjel F( s ) Laplace-transzformáltja, akkor a csillapított f( t ) e −α t ( α>0 ) jel Laplace-transzformáltja
ℒ{ f( t ) e −α t }=F( s+α ) . (38)
Az 1. táblázat negyedik függvénye például az egységugrásjel csillapításával áll elő, f( t )=K 1( t ) e −α t , ennek Laplace-transzformáltja a táblázat szerint F( s )= K s+α . Az egységugrásjel Laplace-transzformáltja 1 s , a szabály szerint az s változó helyébe s+α írandó, így áll elő a transzformált. A konstanssal történő szorzás a (36)-ben szereplő integráljel elé kiemelhető, ha tehát egy függvényt konstanssal szorzunk, az a konstans a transzformáltban is megjelenik.
c) Az időtartományban végzett idő szerinti deriválás és integrálás a komplex frekvenciatartományban az s változóval történő szorzásnak, illetve osztásnak felel meg.
d) A végérték-tételek segítségével a Laplace-transzformáltak alapján határozhatjuk meg valamely jel kezdeti értékét és stacionárius állapotban felvett értékét a következőképp:
y( 0 )= lim⁡ s→∞ s Y( s ) ,
illetve
y( t→∞ )= lim⁡ s→0 s Y( s ) . (39)
Az átviteli függvény
Az átviteli függvény az a rendszerjellemző függvény, amelynek segítségével a válaszjelet meg tudjuk határozni, illetve a rendszer viselkedését vizsgálhatjuk. Az átviteli függvény a rendszer válaszjele és a gerjesztése Laplace-transzformáltjának a hányadosa:
W( s )= ℒ{ y( t ) } ℒ{ u( t ) } = Y( s ) U( s ) = b 0 s m + b 1 s m−1 +…+ b m s n + a 1 s n−1 + a 2 s n−2 +…+ a n , (40)
azaz az átviteli függvény az s változó racionális törtfüggvénye valós együtthatókkal: a számláló is és a nevező is s-nek polinomja. Az átviteli függvény gyöktényezős alakja felírható a számlaló s i gyökei (az ún. zérusok) és a nevező p i gyökei (az ún. pólusok) alapján:
W( s )=A ( s− s 1 )( s− s 2 )…( s− s m ) ( s− p 1 )( s− p 2 )…( s− p n ) . (41)
A pólusok fontos szerepet kapnak a rendszer stabilitásának meghatározásában.
A (36) definíciós integrálból látható, hogy a Laplace-transzformációt belépő jelek vizsgálatára alkalmazzuk. A rendszer gerjesztése tehát belépő kell legyen (az 1. táblázatban szereplő jelek lehetnek például a gerjesztések, s mindegyikben szerepel az 1( t ) függvény, amely azt biztosítja, hogy a jel belépő), a rendszer ugrásválasza és impulzusválasza szintén belépő kell legyen, ami azt jelenti, hogy a vizsgált rendszer kauzális. A (6) konvolúció a Laplace-transzformáltak tartományában szorzattá egyszerűsödik, azaz
Y( s )=W( s )U( s ) , (42)
ami (40) átrendezéséből is következik. A válaszjel Laplace-transzformáltját tehát úgy kaphatjuk meg, hogy az átviteli függvényt egyszerűen beszorozzunk a gerjesztőjel Laplace-transzformáltjával ( U( s )=ℒ{ u( t ) } ).
Ha a válaszjel Y( s ) Laplace-transzformáltját (42) szerint meghatároztuk, akkor a válaszjelet az inverz Laplace-transzformációval határozhatjuk meg,
y( t )= ℒ −1 { Y( s ) } , (43)
amely művelet általában nagyon bonyolult, esetünkben azonban egyszerű szabályokkal, az ún. kifejtési tétellel elvégezhető. Ezt néhány példán keresztül mutatjuk be.
Az átviteli függvény kapcsolata az időtartománybeli leírással
Megemlítjük, hogy az átviteli karakterisztika mérés útján, identifikációval felállítható, a (40)-ben szereplő a és b paraméterek értéke, vagy az (41)-ben definiált pólus-zérus kép mérésekből kiszámítható. Ezzel itt nem foglalkozunk. Az impulzusválasz, a rendszeregyenlet, valamint az állapotváltozós leírás és az átviteli függvény között egyértelmű kapcsolat van, amelyeket a következők pontokban bemutatunk.
a) A W( s ) átviteli függvény a súlyfüggvény Laplace-transzformáltja,
azaz:
W( s )=ℒ{ w( t ) }= ∫ −0 ∞ w( t ) e −s t d t . (44)
Az ugrásválasz Laplace-transzformáltját V( s ) -sel jelöljük. A W( s ) átviteli függvény és a V( s ) függvény között az alábbi kapcsolat áll fenn:
W( s )=s V( s ) ,
illetve
V( s )= 1 s W( s ) , (45)
ami az időtartománybeli kapcsolatból és a deriválásra, illetve integrálásra tett szabályokból következik.
b) A (7) rendszeregyenlet a következő alakban írható fel a transzformált tartományban:
s n Y+ ∑ i=1 n a i s n−i Y= ∑ i=0 m b i s m−i U, (46)
ahonnan az átviteli függvény (40) alakja könnyedén felírható. A fenti átalakítás mögött az áll, hogy az időtartományban végzett idő szerinti deriválás a komplex frekvenciatartományban az s változóval való szorzást jelenti. Ha tehát az y( t ) változó n-edik deriváltját képezzük az időfüggvények világában, akkor a Laplace-transzformált módban az s n Y műveletet kell elvégezni, ami nyilvánvalóan sokkal egyszerűbb.
A (10) legegyszerűbb alakú rendszeregyenletek a következő átviteli függvényeknek felelnek tehát meg:
W( s )= b 0 s+ a 1 ,
illetve
W( s )= s b 0 + b 1 s+ a 1 . (47)
c) A (11) állapotváltozós leírás differenciálegyenlet-rendszere és algebrai egyenlete a következő alakban írható fel a transzformált tartományban:
s X=A X+b U, Y= c T X+D U, (48)
ahonnan:
X= ( s E−A ) −1 b U ,
illetve
Y=[ c T ( s E−A ) −1 b+D ]U (49)
adódik. Itt E egy n×n méretű egységmátrix, a felső indexben szereplő -1 pedig az inverzmátrix képzésre utal. Hangsúlyozzuk, hogy a transzformált egyenletek algebrai egyenletek, s nem tartalmaznak differenciálegyenletet, így a megoldás menete nyilvánvalóan egyszerűbb - ez a transzformációk fő lényege. Utóbbi egyenletből az átviteli függvény kifejezhető:
W= Y U = c T ( s E−A ) −1 b+D . (50)
A (12) alakban felírt rendszer átviteli függvénye tehát a következő alakú:
W( s )= Y ¯ U ¯ = s D+( c b−A D ) s−A . (51)

| Önellenőrző kérdések
Mi a rendszer?
Adja meg a lineáris, invariáns, kauzális rendszer ismérveit!
Milyen rendszerjellemző függvényeket ismer? Mi a rendszerjellemző függvény lényege?
Definiálja az ugrásválaszt és az impulzusválaszt!
Mi a súlyfüggvény-tétel?
Definiálja a rendszeregyenletet!
Definiálja az állapotváltozós leírást!
Mi a gerjesztés-válasz stabilitás? Mi az aszimptotikus stabilitás?
Mi a gerjesztés-válasz stabilitás és az aszimptotikus stabilitás közötti kapcsolat?
Származtassa a komplex csúcsérték fogalmát!
Mi az átviteli karakterisztika?
Hogy használható az átviteli karakterisztika a szinuszos válasz meghatározásában?
Mi a Nyquist-diagram?
Mi a Bode-diagram?
Jellemezze a Bode-alakot!
Mi az átviteli függvény?
Mire jó a Laplace-transzformáció?
Mi a kapcsolat az átviteli függvény és az impulzusválasz, illetve az ugrásválasz között?
Hogy használható az átviteli függvény a válasz meghatározásában?