KURZUS: Irányítástechnika

MODUL: Lineáris szabályozási körök

3.4. lecke: Néhány egyszerű szabályozási feladat

| Cél: A tananyag célja, hogy a hallgató megismerje a szabályozási kör egyszerű tervezési technikáit. A feladatok illusztrációként szolgálnak, a tervezés elsajátítása nem cél.
Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes
összefoglalni az egyes szabályozó komponensek hatását.
Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 180 percre lesz szüksége.
Kulcsfogalmak
szabályozó, P-, I-, D-típusú szabályozás, PI-tag, PD-tag, PID-szabályozó.
1. A szintézisről röviden
Jegyezze le a szintézissel kapcsolatos alábbi információkat!
A szintézis a szabályozási kör méretezése, azaz a szabályozó megtervezése, amely a különféle előírásokat teljesíti.
A méretezés során természetes igény, hogy az ideális szabályozási kört megközelítsük. Az ideális szabályozási kör ismérvei a következők:
a zárt rendszer stabil; a statikus hiba zérus; a tranziensek nagyon gyorsan lezajlanak stb.
Ahogy a következő példákban látni fogjuk, a szabályozott szakasszal sorbakapcsolt szabályozó úgy kompenzál, hogy a szakasz bizonyos zérusait, illetve pólusait áthelyezi, azaz egyeseket semlegesít, és újakat hoz be. Ezt soros kompenzációnak is nevezzük.
2. Illusztratív példa - terheletlen egyenáramú motor fordulatszám-szabályozása
Jegyezze le az egyes szabályozók hatását!
Ebben a példában egy egytárolós tag szabályozását vizsgáljuk meg.
Az egyik legegyszerűbb szabályozandó eszköz az egyenáramú villamos motor. A motorra kapcsolt feszültséggel lehet szabályozni a motor fordulatszámát, minél nagyobb a feszültség, a motor annál gyorsabban forog, kisebb feszültségnél a motor forgása lassabb.
A motor tengelyének ω( t ) szögsebessége és a motorra kapcsolt u( t ) feszültség között a következő átviteli függvény írható fel:
W( s )= Ω( s ) U( s ) = 1 s+1 ,
ahol utóbbi egy nagyon egyszerű illusztratív példa.
Az egyenáramú motor tehát egy egytárolós tag, impulzusválasza és ugrásválasza a következő:
w( t )=1( t ) e −t ,
v( t )=1( t )( 1− e −t )
A két függvény az 1. ábrán látható.
Az ugrásválaszból egyértelműen kitűnik, hogy amennyiben a motorra hirtelen rákapcsolunk például 1V feszültséget (ugrás alakú jelet), akkor a motor tengelyének szögsebessége nem azonnal, hanem kis késleltetéssel, lassan felfutva éri el az üzemi sebességet, illetve az üzemi fordulatszámot. Ez tehát egy dinamikus rendszer.
Vizsgáljuk meg az egyes szabályozók hatását a zárt rendszer ugrásválaszának tanulmányozásán keresztül!
A visszacsatolt rendszer eredő átviteli függvénye a jól ismert:
W( s )= W C W P 1+ W C W P
szerint alakul.
Az egyenáramú motor ugrásválasza és impulzusválasza
1. ábra
a) Ha a szabályozó egy egyszerű P-típusú szabályozó, akkor W C = k P , azaz
W( s )= k P W P 1+ k P W P = k P 1 s+1 1+ k P 1 s+1 = k P s+( 1+ k P )
Ennek a zárt rendszernek az ugrásválasza az alábbi Laplace-transzformált szerint írható fel, miközben a letakarásos módszert (parciális törtekre bontás) is alkalmazzuk:
V( s )= 1 s k P s+( 1+ k P ) = k P 1+ k P s + − k P 1+ k P s+( 1+ k P ) ,
azaz:
v( t )=1( t ) k P 1+ k P ( 1− e −( 1+ k P )t )
Szabályozás P-típusú szabályozóval
2. ábra
A zárt kör erősítése tehát k P 1+ k P (ugyanez a kimenőjel értéke stacionárius állapotban), statikus hibája pedig h s =1− k P 1+ k P = 1 1+ k P , ami mindig fennáll.
A 2. ábra különböző k P értékekre mutat eredményt. Az ábrán szembetűnő az ugrásválasz stacionárius értéke a három esetben: 0,1/1,1≅0,091 , 1/2=0,5 , illetve 10/11≅0,91 , és a hiba értéke 1/1,1≅0,91 , 1/2=0,5 , illetve 1/11≅0,091 , ami nem tűnik el. A k P =1 könnyen leolvasható. Az is látható, hogy k P növelésével a jel felfutása egyre gyorsabb, s egyre jobban megközelíti az 1,0 értéket. Technikai okokból azonban a P-tag konstansa nem növelhető tetszőlegesen, minden határon túl. Ha jobb, pontosabb eredményt akarunk elérni, más szabályozóhoz kell nyúlni.
2) Ha a szabályozó egy I-típusú szabályozó, akkor W C =1/s T I , azaz a zárt szabályozási kör átviteli függvénye az alábbi:
W( s )= 1 s T I 1 s+1 1+ 1 s T I 1 s+1 = 1 1+s T I + s 2 T I
Ennek a zárt rendszernek az ugrásválasza az alábbi Laplace-transzformált szerint írható fel, miközben a letakarásos módszert is alkalmazzuk:
V( s )= 1 s 1 1+s T I + s 2 T I = 1 s 1 ( s+ λ 1 )( s+ λ 2 ) = 1 λ 1 λ 2 s − 1 λ 1 ( λ 2 − λ 1 ) s+ λ 1 − 1 λ 2 ( λ 1 − λ 2 ) s+ λ 2 ,
azaz:
v( t )=1( t )( 1 λ 1 λ 2 − 1 λ 1 ( λ 2 − λ 1 ) e − λ 1 t − 1 λ 2 ( λ 1 − λ 2 ) e − λ 2 t )
Ezekben a kifejezésekben
λ 1,2 = − T I ± T I 2 −4 T I 2 T I
a két sajátérték.
Szabályozás I-típusú szabályozóval
3. ábra
A 3. ábra különböző T I értékekre mutat megoldást. Azt látjuk, hogy a szabályozási idő eltelte után a kimeneti jel értéke 1,0, a statikus hiba tehát nulla, ami az integráló szabályozó nagy előnye. A kimeneti jel aperiodikus, ha T I értéke kellően nagy, de ilyen esetben a szabályozás lassú. Kicsi T I értékek mellett a szabályozás gyorsabb, de lengő jellegű, s a lengés T I csökkenésével erőteljesebb.
c) A PI-szabályozó átviteli függvénye a P-szabályozó és az I-szabályozó párhuzamos kapcsolásából áll össze:
W C ( s )= k P + 1 s T I = 1+s k P T I s T I =K 1+s T s T
Utóbbi alakot fogjuk használni. A számlálóban szereplő T időállandóval ki lehet ejteni a szabályozott szakasz legnagyobb időállandóját (leglomhább, lassú pólus), K-val pedig a fázistöbbletet lehet beállítani.
Ebben az esetben a
W C ( s )=K 1+s s
választást lehet alkalmazni, s így a zárt kör átviteli függvénye az alábbi:
W( s )= K 1+s s 1 s+1 1+K 1+s s 1 s+1 = K s+K ,
azaz:
V( s )= 1 s K s+K → v( t )=1( t )( 1− e −K t )
Az ugrásválasz képletéből látszik, hogy a statikus hiba biztosan zérus lesz, a szabályozás jelen esetben aperiodikus, melynek sebessége K megválasztásától függ. A 2. ábrán látható felfutáshoz hasonló eredményt kapunk, de a statikus hiba értéke nulla.
3. Illusztratív példa - magasabb rendű rendszer szabályozása
Jegyezze le az egyes szabályozók hatását!
Ebben a példában egy háromtárolós tag szabályozását vizsgáljuk meg:
W( s )= 1 ( 1+ s 0,1 )( 1+ s 1 )( 1+ s 5 )
A példában szereplő rendszer amplitúdókarakterisztikája
4. ábra
A szabályozandó rendszer amplitúdókarakterisztikája látható a 4. ábrán. Az átviteli függvényből közvetlenül kiolvashatók a törésponti körfrekvenciák, miáltal a karakterisztika könnyen felvázolható. A három Bode-alaknak megfelelő karakterisztikaelemet vékony vonallal, az eredőt pedig vastag vonallal rajzoltuk be.
A szakasz ugrásválasza a parciális törtekre bontás módszerével felírható:
v( t )=1( t )( 1,0−0,0051 e −5 t +0,1389 e −1 t −1,1338 e −0,1 t ) ,
ami az 5. ábrán látható.
A példában szereplő rendszer ugrásválasza
5. ábra
a) Vizsgáljuk meg, mit lehet P-szabályozóval elérni. A vágási körfrekvenciát a -20dB/dekád meredekségű szakaszon célszerű beállítani, ami a 0,1 és 1,0 törésponti körfrekvenciák között található.
A P-szabályozó hatása a felnyitott kör amplitúdókarakterisztikájára
6. ábra
A P-típusú szabályozóval a felnyitott kör amplitúdókarakterisztikáját el lehet tolni függőleges irányba, ahogy az szaggatott vonallal a 6. ábrán is látható, ha | k P |>1,0. Hogy milyen mértékben célszerű eltolni, az nyilván a kívánt fázistartaléktól függ, amit 60° körülinek célszerű megválasztani.
Ha például k P =5,0 , akkor a felnyitott kör átviteli függvénye az alábbi:
W 0 ( s )= 5 ( 1+ s 0,1 )( 1+ s 1 )( 1+ s 5 ) ,
a zárt köré pedig:
W( s )= 5 ( 1+ s 0,1 )( 1+ s 1 )( 1+ s 5 )+5
A felnyitott kör vágási körfrekvenciája a 6. ábrából közelítőleg leolvasható. A -20dB/dekád meredekségű szakasz egyenlete:
K dB =20 lg 5−20 lg ω 0,1 ,
ahonnan K dB =0 helyettesítéssel kapjuk, hogy ω c = 0,5. Itt a fázistöbblet a közelítő görbe alapján: 72,1° . Ha az erősítés 5,0-nél kisebb, úgy a fázistöbblet is közeledik az optimális 60° -hoz.
A zárt rendszer ugrásválaszában konjugált komplex sajátérték-pár is szerepel, a számítás menete hosszadalmas, de a végeredményt grafikusan mutatja a 7. ábra (itt a rendszer ugrásválaszát az 5. ábráról átmásoltuk, hogy azt össze lehessen hasonlítani a szabályozóval kiegészített rendszer ugrásválaszával). Így a szabályozás ismérvei tanulmányozhatók. Látható, hogy a szabályozott rendszer kimenete nem éri el az 1,0 értéket, maradó, statikus hiba van, aminek értéke 1/6≅0,167 a végérték-tétel értelmében:
v( t→∞ )= lim⁡ s→0 s V( s )= lim⁡ s→0 W( s )= 5 6 =0,833
A P-szabályozóval kiegészített rendszer ugrásválasza
7. ábra
A 7. ábrán az is látható, hogy a kimenetnek túllendülése van, ami a komplex pólusoknak tudható be, a szabályozó tehát lengővé teszi a kimenetet, habár a stacionárius értéket rövidebb idő alatt éri el, a beállás tehát láthatóan felgyorsult. A P-tag erősítését növelve a statikus hiba kisebb lesz, de azt nem lehet minden határon túl növelni, egyrészt technikailag nem lehet megoldani, másrészt a fázistöbblet csökkeni fog.
b) Vizsgáljuk meg ezután, hogy mit lehet a PI-szabályozóval elérni. A PI-tag átviteli függvénye:
W C ( s )=K 1+s T s T
Ennek segítségével a legkisebb törésponti frekvencia kiejthető, legyen tehát:
W C ( s )=5 1+s 10 s 10 ,
az 5,0 erősítést áthozzuk a P-szabályozóból, s így a felnyitott kör amplitúdókarakterisztikája csak az alacsonyabb frekvenciákon változik, ahogy az a 8. ábrán is látható (szaggatott vonal). Ilyen esetben a felnyitott kör átviteli függvénye némileg egyszerűsödik:
W 0 ( s )= 5 s 10( 1+ s 1 )( 1+ s 5 ) ,
a zárt köré szintén:
W( s )= 5 s 10( 1+ s 1 )( 1+ s 5 )+5
A PI-szabályozó hatása a felnyitott kör amplitúdókarakterisztikájára
8. ábra
A PI-szabályozóval kiegészített rendszer ugrásválasza
9. ábra
A felnyitott kör vágási körfrekvenciája a 8. ábrából kiolvasható, hogy nem változik: ω c = 0,5. Megjegyezzük, hogy a pontos érték természetesen változik, hiszen a karakterisztika is változik, de a közelítő törtvonalas karakterisztika ezen szakasza nem változik (v. ö. 6. ábra és 8. ábra). Itt a fázistöbblet a közelítő görbe alapján: 58,6° , ami közelebb van az ideálishoz, mint az egyszerű P-tag eredményeképp kapott érték.
A zárt rendszer ugrásválasza a 9. ábrán látható, ahol meghagytuk a P-tag által szolgáltatott eredményt. Látható, hogy az ugrásválasz lengő jellegű, azaz az eredő rendszer sajátértékei között van olyan, ami konjugált komplex párt alkot, ennek köszönhető a túllövés. Az integráló tag növeli a rendszer típusszámát, miáltal a statikus hiba eltűnik, látható, hogy a rendszer kimenete a szabályozási idő letelte után 1,0.
c) Vizsgáljuk meg ezután, hogy mit lehet a PD-szabályozóval elérni. A PD-tag átviteli függvénye a következő:
W C ( s )=K 1+s T 1+s T ′
Ennek segítségével a -20dB/dekád meredekségű szakasz meghosszabbítható a nagyobb frekvenciák irányába, legyen az átviteli függvény a következő:
W C ( s )=20 1+s 1+ s 10
A felnyitott kör átviteli függvénye így a következőképp alakul:
W 0 ( s )= 20 ( 1+ s 0,1 )( 1+ s 5 )( 1+ s 10 ) ,
a zárt köré pedig
W( s )= 20 20+( 1+ s 0,1 )( 1+ s 5 )( 1+ s 10 ) ,
A PD-szabályozó hatása a felnyitott kör amplitúdókarakterisztikájára
10. ábra
A 10. ábrán látható, hogy az 1,00 körfrekvenciához tartozó töréspont eltűnt, s bekerült a 10,0 körfrekvenciához egy új töréspont, miáltal a -20dB/dekád meredekségű szakasz hosszabb lett, s így a vágási körfrekvenciát ki lehet tolni magasabb frekvenciára, hiszen a kör erősítése 20.
A felnyitott kör vágási körfrekvenciája a 10. ábrából közelítőleg leolvasható. A -20dB/dekád meredekségű szakasz egyenlete:
K dB =20 lg 20−20 lg ω 0,1 ,
ahonnan K dB =0 helyettesítéssel kapjuk, hogy ω c = 2,0. Itt a fázistöbblet a közelítő görbe alapján: 49,4° .
A PD-szabályozóval kiegészített rendszer ugrásválasza
11. ábra
A zárt rendszer ugrásválasza a 11. ábrán látható, ahol meghagytuk a P-tag és a PI-tag által szolgáltatott eredményeket is. Az ugrásválasz ismét lengő jellegű, de a beállás jóval gyorsabban megtörténik. Ez annak tudható be, hogy a vágási frekvenciát meg lehetett növelni, ugyanakkor maradó statikus hiba állt elő (értéke 1− 20 21 =0,0476 ).
d) A PID-szabályozó a fenti előnyöket egyesíti: az I-tagnak köszönhetően pontos beállást, a D-tagnak köszönhetően pedig gyors működést biztosít.
A PID-szabályozó átviteli függvénye a következő:
W C ( s )=K 1+s T I s T I 1+s T D 1+s T D "
Legyen a szabályozó átviteli függvénye az alábbi:
W C ( s )=20 1+s 10 s 10 1+s 1+ s 10
A felnyitott kör átviteli függvény így a következőképp alakul:
W 0 ( s )= 2 s( 1+ s 5 )( 1+ s 10 )
A vágási körfrekvencia ω c = 2,0 (12. ábra), a fázistöbblet a közelítő görbe alapján: 62,9° .
A zárt rendszer eredő átviteli függvénye a következő alakot ölti:
W( s )= 2 2+s( 1+ s 5 )( 1+ s 10 )
A felnyitott kör amplitúdókarakterisztikája a 10. ábrán felvázolt karakterisztikától csupán annyiban különbözik, hogy a -20 dB/dekád meredekségű szakasz a kisebb frekvenciák irányába meghosszabbodik, ahogy az a 12. ábrán is látható.
A PID-szabályozó hatása a felnyitott kör amplitúdókarakterisztikájára
12. ábra
A zárt rendszer ugrásválaszát a 13. ábra mutatja, ahol a fentebb beállított szabályozók hatása is látható, s az eredmények összehasonlíthatók. A vízszintes tengelyen kicsit módosítottunk, hogy az eredmények jobban láthatók legyenek.
A PID-szabályozóval kiegészített rendszer ugrásválasza
13. ábra
Az ábrán jól látható, hogy a PID-szabályozó valóban összegzi az egyes tagok előnyeit.
A P-szabályozó a hibajellel arányosan avatkozik be. A PI-szabályozó a P-tagon keresztül a hibajellel arányosan beavatkozik, de közben a hibajelet integrálja, s a beavatkozás erejét fokozatosan visszaveszi. A PD-szabályozó nemcsak a hibajellel, hanem annak deriváltjával is dolgozik. Gyorsan növekvő hibára nagy értékkel reagál, de ha a hibajel változási sebessége csökken, úgy a D-tag hatása is csökken, azaz nem várja meg, míg a hiba eltűnik, korábban reagál. A PID a PI és a PD hatásokat egyesíti.
A lecke végén megjegyezzük, hogy az ipari folyamatirányításban számos tapasztalati szabályozó beállítási módszert javasoltak, amelyek alkalmasak a gyors üzemi behangolásra. Ezek receptek arra vonatkozóan, hogy a PID-szabályozó egyes csatornáit hogyan kell beállítani előzetes mérések alapján. Ilyen recept például a Ziegler-Nichols-szabályrendszer, az Oppelt-módszer, az Aström-módszer stb.

| Önellenőrző kérdések
Hogyan hat egy szabályozási körben a P-tag?
Hogyan hat egy szabályozási körben a D-tag?
Hogyan hat egy szabályozási körben az I-tag?