KURZUS: Irányítástechnika

MODUL: Lineáris szabályozási körök

3.2. lecke: Lineáris szabályozás stabilitása

| Cél: A lecke célja, hogy a hallgató megismerje a szabályozási kör stabilitásának vizsgálati módszereit.
Követelmények: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha képes
a zárt rendszer stabilitása feltételének megfogalmazására, a Nyquist-kritériumok megfogalmazására, a Bode-kritérium megfogalmazására, a vágási körfrekvencia és a fázistöbblet meghatározására.
Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 90 percre lesz szüksége.
Kulcsfogalmak
stabilitás, zárt szabályozási kör, felnyitott kör, Nyquist-kritériumok, Bode-kritérium, vágási körfrekvencia, fázistöbblet.
1. A visszacsatolás stabilitásra gyakorolt hatása
Ismételje át a stabilitás fogalmát! Jegyzetfüzetében vezesse le a zárt rendszer eredő átviteli függvényét, és a stabilitás feltételét!
A visszacsatolás a jelátvivő tulajdonságok befolyásolásának egyik leghatékonyabb eszköze. Szabályozástechnikában a negatív visszacsatolás alapvető jelentőségű, hiszen a szabályozás az alapjel és a visszacsatolt kimeneti jel különbségén alapszik, a kimeneti jelet negatívan csatoljuk vissza.
A visszacsatolás hatással van a visszacsatolás által előálló új, zárt rendszer stabilitására. A visszacsatolás az eredetileg labilis rendszert stabilizálhatja, s fordítva, az eredetileg stabil rendszert labilissá teheti. Nyilvánvaló követelmény, hogy a szabályozóval kiegészített zárt rendszer stabil legyen.
A stabilitás fogalmáról (aszimptotikus stabilitás, gerjesztés-válasz stabilitás) az 1. modulban már volt szó, így azt itt nem ismételjük meg.
Mint ismeretes, a negatívan visszacsatolt rendszer eredő átviteli függvénye az alábbi:
W( s )= W c ( s ) W P ( s ) 1+ W C ( s ) W P ( s ) . (1)
Itt W C ( s ) jelöli a szabályozó átviteli függvényét (controller) és W P ( s ) a szabályozott szakasz (plant) átviteli függvénye. A W C ( s ) W P ( s ) a felnyitott (megszakított) kör eredő átviteli függvénye, amit W 0 ( s ) -sel jelölünk: W 0 ( s )= W C ( s ) W P ( s ) , s így:
W( s )= W 0 ( s ) 1+ W 0 ( s ) . (2)
A zárt rendszer stabilitásának feltétele, hogy a zárt rendszer átviteli függvényének nevezője által alkotott 1+ W 0 ( s ) polinomból előálló
1+ W 0 ( s )=0 (3)
karakterisztikus egyenlet gyökei (a zárt rendszer pólusai) negatív valós részűek legyenek.
2. Kritériumok
Jegyzetfüzetébe jegyezze fel a Nyquist-kritériumokat és a Bode-kritériumot!
A zárt rendszer átviteli függvénye, s következésképp a felnyitott kör átviteli függvénye is a szabályozó tervezése során alakul ki, előre nem ismert. Nem megoldható tehát az, hogy a zárt rendszer stabilitását ezek alapján vizsgáljuk. Emiatt közvetett eljárásokat dolgoztak ki, mint például a Nyquist-kritérium, vagy a Bode-kritérium.
a) Az egyszerűsített Nyquist-kritérium a következőképp szól: ha a felnyitott kör W 0 ( s ) átviteli függvényének pólusai mind negatív valós részűek, a zárt rendszer akkor stabil, ha a W 0 ( j ω ) átviteli karakterisztika teljes Nyquist-diagramja nem veszi körül a −1+j 0 pontot (1. ábra).
Illusztráció a Nyquist-kritériumhoz
1. ábra
Az 1. ábra első diagramja mutatja a Nyquist-kritériumot kielégítő görbét. A középső diagram a stabilitás határhelyzetét illusztrálja, a harmadik görbe pedig az instabil rendszert.
Azt a pontot kell tehát vizsgálni, ahol a Nyquist-diagram belép az egységsugarú körbe (2. ábra). Ha a belépési pont a − 180 o és 0 o között van, akkor a diagram biztosan nem veszi körül a −1+j 0 pontot, ellenkező esetben körülveszi. A metszési pontnak megfelelő körfrekvencia az ω c vágási körfrekvencia, a fázist pedig φ c -vel jelöljük. Ez helyett a fázistöbbletet használják:
φ t = 180 o + φ c . (4)
A fázistöbblet definíciója
2. ábra
Az általánosított Nyquist-kritérium kissé továbbmegy: ha a felnyitott kör W 0 ( s ) átviteli függvényének pozitív valós részű pólusai is vannak (a felnyitott kör nem stabil), a zárt rendszer még lehet stabil, ha a W 0 ( j ω ) átviteli karakterisztika teljes Nyquist-diagramja az óramutató járásával ellentétes irányban annyiszor veszi körül a −1+j 0 pontot, ahány jobboldali pólusa van a W 0 ( s ) átviteli függvénynek.
b) A Bode-kritérium a Bode-diagramot használva ad segítséget: a zárt rendszer akkor stabil, ha a felnyitott kör K( ω ) amplitúdógörbéje olyan ω c körfrekvencián metszi az egységnyi erősítésnek megfelelő vízszintes tengelyt, ahol a φ t fázistöbblet pozitív (3. ábra).
Illusztráció a Bode-kritériumhoz
3. ábra
A 3. ábra szerint tehát az amplitúdódiagram és a vízszintes tengely metszési pontja által kijelölt ω c vágási körfrekvencián kell vizsgálni a φ t fázistöbbletet, amit a -180°-hoz kell viszonyítani. Az ábrán jelölt fázistöbblet pozitív. Ha a fázisdiagram a vágási körfrekvencián a -180° alatt van, akkor a fázistöbblet negatív.
3. Illusztratív példa
Próbálja meg önállóan megoldani a következő példában kitűzött feladatot! Ha a megoldás sikertelen, olvassa el figyelmesen az itt közölt megoldást, és oldja meg a feladatot!
Egy szabályozási rendszer felnyitott körének átviteli függvénye az alábbi:
W 0 ( s )= 2,5 ( 1+s )( 1+0,1 s )
Határozzuk meg a vágási körfrekvenciát és a fázistöbbletet! Vizsgáljuk meg a stabilitást!
Először rajzoljuk fel a felnyitott kör átviteli függvényéhez tartozó Bode-féle amplitúdókarakterisztika törtvonalas közelítését (4. ábra).
A példában szereplő rendszer amplitúdódiagramja
4. ábra
A törtvonalas közelítés alapján a következőképp lehet meghatározni az ω c vágási körfrekvenciát. A közelítő görbe minden szakasza egy-egy egyenes, amelyek y=m x+b típusú egyenlete két pontra támaszkodva felírható, ebben az esetben a
K dB ( ω )=m lg ω+b
alakot kell használni, a két pont pedig a −20 dB/dekád meredekségű egyenes két végpontja ( ω=1 és ω=10 ), ahol az amplitúdó közelítő értéke 20 lg 2,5=7,96 dB , és 7,96 dB−20 dB=−12,04 dB (a két pont pontosan egy dekádra van egymástól),
7,96=m lg 1+b ,
és
−12,04=m lg 10+b
A következő két adatot kapjuk, ami egyértelmű: m=−20 , ami a szakasz meredeksége és b=7,96 , vagyis
K dB ( ω )=−20 lg ω+7,96
A vágási körfrekvencián K dB ( ω c )=0 , s így írhatjuk, hogy
0=−20 lg ω c +7,96 ,
ahonnan
ω c =2,5
A közelítő érték alapján a következő fázist kapjuk:
φ c =φ( ω c )=−arctg 2,5−arctg 0,25=− 68,19 o − 14,04 o =− 82,23 o ,
s így
φ t = 180 o + φ c = 180 o − 82,23 o = 97,77 o
A fázistöbblet pozitív, így a zárt rendszer stabil kell, hogy legyen.
A pontos értéke meghatározása általában nehéz feladat, mert magas fokszámú polinomot kell megoldani. Ebben az illusztratív példában a megoldás nem túl nehéz feladat. A pontos amplitúdókarakterisztika a vágási körfrekvencián tehát egységnyi:
| 2,5 ( 1+j ω c )( 1+j 0,1 ω c ) |=1 ,
kifejtve
2,5 1+ ω c 2 1+0,01 ω c 2 =1
Négyzetre emelés és rendezés után vezessük be az x= ω c 2 helyettesítést,
x 2 +101 x−525=0 ,
aminek egyetlen fizikailag helyes megoldása ω c =2,23 (t. i. a negatív értékű körfrekvenciának nincs fizikai tartalma), továbbá a φ c =− 78,41 o és φ t = 101,59 o értékeket kapjuk.
Ebből a példából is látszik, hogy a közelítő amplitúdómenet használata sokkal egyszerűbb, de tudni kell, hogy az a pontos érték egy közelítése.
Végül írjuk fel a zárt rendszer eredő átviteli függvényét:
W( s )= W 0 ( s ) 1+ W 0 ( s ) = 2,5 ( 1+s )( 1+0,1 s ) 1+ 2,5 ( 1+s )( 1+0,1 s ) = 2,5 0,1 s 2 +1,1 s+3,5 ,
Ennek két pólusa konjugált komplex párt alkot: p 1,2 =−5,5±2,18 j . A pólusok valós része negatív, azaz a zárt rendszer valóban stabil.
4. Illusztratív példa
Az általánosított Nyquist-kritérium tanulmányozása után olvassa el a következő példát!
Egy szabályozási rendszer felnyitott körének átviteli függvénye az alábbi:
W 0 ( s )= −5 ( 1+10 s )( 1−2 s )( 1+0,5 s )
Vizsgáljuk meg a zárt rendszer stabilitást!
A felnyitott körnek három pólusa van: p 1 =−0,1 , p 2 =0,5 , p 3 =−2 . Egyik pólus tehát pozitív, az általánosított Nyquist-kritériumot kell használni. Ehhez szoftveresen felrajzoljuk a Nyquist-diagramot, ami az 5. ábrán látható (lásd Matlab nyquist utasítása).
A görbe egyszer körbeveszi a -1+j0 pontot, ahogy a kritériumban is szerepel, de nem az óramutató járásával ellentétesen halad. A zárt kör tehát nem stabil.
A zárt kör átviteli függvénye a következő:
W( s )= W 0 ( s ) 1+ W 0 ( s ) = −5 ( 1+10 s )( 1−2 s )( 1+0,5 s ) 1+ −5 ( 1+10 s )( 1−2 s )( 1+0,5 s ) = −5 −4+8,5 s−16 s 2 −10 s 3 ,
ahonnan: p 1 =−2,1 , p 2 =0,25+j 0,36 , p 3 =0,25−j 0,36 . Valóban, a zárt rendszer nem stabil, hiszen konjugált komplex pólusainak valós része pozitív.
A példában szereplő rendszer Nyquist-diagramja
5. ábra

| Önellenőrző kérdések
1. A felnyitott kör átviteli függvénye az alábbi:
W 0 ( s )= 10 ( 1+2 s )( 1+0,2 s )
Határozza meg a vágási körfrekvenciát, a fázistöbbletet és nyilatkozzon a zárt rendszer stabilitásáról! Használja a törtvonalas közelítést!
2. A 6. ábrán látható Bode-diagram egy szabályozási rendszer felnyitott körének átviteli karakterisztikáját ábrázolja (l. Matlab bode utasítása). A diagram alapján döntse el, hogy a zárt kör stabil, vagy sem!
3. Vezesse le a negatívan visszacsatolt rendszer eredő átviteli függvényét!
4. Hogy függ össze a zárt rendszer átviteli függvénye és a felnyitott kör átviteli függvénye?
5. Mi a zárt rendszer stabilitásának feltétele?
6. Hogy szól az egyszerűsített és az általánosított Nyquist-kritérium?
7. Hogy szól a Bode-kritérium?
8. Mi a vágási körfrekvencia? Mi a fázistöbblet? Rajzolja be a fázistöbbletet a komplex számsíkon és a Bode-diagramon!
A 2. ellenőrző feladatban szereplő Bode-diagram
6. ábra